Dr. Mario Helm Sommersemester 2017
Brückenkurs II
Blatt 4
Übungsmaterial
(sollte mit Aufgaben aus Tutorium, Übungen und Musterklausuren kombiniert werden)
1. Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte mit Hilfe des Satzes von Bernoulli und l’Hospital. Machen Sie sich in jedem Beispiel zuerst klar, dass tatsächlich ein Grenzwert der Form „00“ oder „∞∞“ vorliegt.
(a) lim
x→∞
x+ 2
e2x (b) lim
x→0
sin(2x2)
3x2 (c) lim
x→0
5x
1−e−x (d) lim
x→0
3−3 cosx e−3x−1 (e) lim
x→∞
ln(8x)
√x (f) lim
x→−∞
lnx2−4
−√
−3x (g) lim
x→0+
lnx
1 9x
(h) lim
x→∞
ln 1−1x
1 x+4
2. Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte mit Hilfe des Satzes von Bernoulli und l’Hospital. Beachten Sie, dass Sie die Ausdrücke zunächst auf eine der Formen „00“ oder „∞∞“ bringen müssen. Benutzen Sie ggf. auch Ergebnisse aus Aufgabe 1.
(a) lim
x→∞(x+ 2)e−2x (b) lim
x→0+9xlnx (c) lim
x→∞(x+ 4) ln
1−1 x
3. Warum greift der Satz von Bernoulli und l’Hospital bei folgenden Beispielen nicht? Bestimmen Sie die Grenzwerte auf eine andere Weise.
(a) lim
x→1+
2x
x−1 (b) lim
x→−∞
x+ 2
e2x (c) lim
x→π+
x+π sinx
4. Berechnen Sie die folgenden GrenzwerteohneVerwendung des Satzes von Bernoulli und l’Hospital.
Nutzen Sie ggf. die Ideen aus Aufgabe 1 von Blatt 3.
(a) lim
x→−∞
3 + 2x
5 +x (b) lim
x→∞
10x+ 3
2x4+ 8x2 (c) lim
x→−∞
(2x−2)5
(x+ 1)5 (d) lim
x→∞
√4x2+ 2x 8x−√
x
5. Trainieren Sie das schnelle Erfassen des Aufgabentyps an den Beispielen der Aufgaben 1–4. Dafür empfiehlt sich das in Aufgabe 5 auf Blatt 3 beschriebene Vorgehen.
6. Analysieren Sie das Verhalten der Funktionen an deren Polstellen, d. h. berechnen Sie die uneigent- lichen (ggf. einseitigen) Grenzwerte bei Annäherung an die Polstellen. Geben Sie – falls vorhanden – die Asymptoten an den Graphen der Funktion fürx→ ± ∞an.
(a)f(x) = 5
(x−3)2 (b)f(x) = 5x−1 + 3 x− 2
x+ 2 (c)f(x) = 1−6x x(x−1)
7. Führen Sie eine Kurvendiskussion durch. Die genauen Anweisungen stehen in den Textstücken der korrespondierenden Aufgaben 8 (für (a)) und 9 (für (b)).Diese Aufgabe sollten Sie nur vorschalten, wenn Ihnen überhaupt nicht klar ist, wie man mit Parametern umgeht. Ansonsten empfiehlt es sich, gleich die entsprechenden allgemeineren Aufgaben 8a und 9a zu bearbeiten.
(a)f(x) = 4xe1−2x (b)f(x) = ln 9 + (3−x)2
8. Führen Sie eine Kurvendiskussion durch, d. h. bestimmen Sie (falls vorhanden) den maximalen Defi- nitionsbereich, Symmetrieeigenschaften, Nullstellen, Pol- bzw. Unendlichkeitsstellen, Lage, Art und Wert der lokalen Extrema, das Verhalten im Unendlichen und an den Pol- bzw. Unendlichkeitsstel- len und den Wertebereich. Argumentieren Sie bei den Extrema mit der zweiten Ableitung.
(a)ft(x) = 2txe1−tx(t >0) (b)ft(x) =t2+ cosh(t2x2−1) (t6= 0) (c)ft(x) = 2x2−t
2x2−t2 (t >1) Geben Sie im Fall (a) sämtliche Bereiche an, in denenf konkav bzw. konvex ist.
9. Führen Sie eine Kurvendiskussion durch, d. h. bestimmen Sie (falls vorhanden) den maximalen Definitionsbereich, Symmetrieeigenschaften, Nullstellen, Pol- bzw. Unendlichkeitsstellen, Lage, Art und Wert der lokalen Extrema, Monotoniebereiche, das Verhalten im Unendlichen und an den Pol- bzw. Unendlichkeitsstellen und den Wertebereich. Argumentieren Sie bei den Extrema mit Ihrem Wissen über die Monotoniebereiche – berechnen Sie nicht die zweite Ableitung.
(a)fa(x) = ln a2+(a−x)2
(a6= 0) (b)fa(x) = 1
x−2aln(2a−x) (c)fa(x) =16−x2
a2−x2 (a >4) Sofern nicht anders erwähnt, ist der Parameterabeliebig reell.
Hausaufgaben
1. Erstellen Sie ein eigenes Kompendium zu den Themen Funktionengrenzwerte und Kurvendiskus- sion (ca. 1 Seite, siehe Anmerkungen Blatt 1). Rufen Sie sich so oft wie möglich die Inhalte des Kompendiums ins Gedächtnis. Lernen Sie sie nach und nachauswendig!
2. Rechnen Sie so viele Aufgaben zum Thema wie möglich und nötig. Arbeiten Sie wieder mit dem auf Blatt 1 beschriebenen Punktesystem.
3. Schauen Sie sich vorbereitend die wesentlichen Inhalte des Themas Integralrechnung an (vor allem Flächenberechnung, partielle Integration, Substitution, Partialbruchzerlegung).
