Brückenkurs II

Dr. Mario Helm Sommersemester 2017

Brückenkurs II

Blatt 6 (Naturwissenschaftler)

Übungsmaterial

(sollte mit Aufgaben aus Tutorium, Übungen und Musterklausuren kombiniert werden)

1. Welche der folgenden Funktionen¹sind stetig oder sogar differenzierbar?

(a)f(x) = sinx+√

2x−x² (b)f(x) = 1− |x| (c) f(x) =

0, x≤2;

1, x >2.

(d)f(x) =

x²+ 1, x≤0;

1−x⁴, x >0. (e)f(x) =

x²+ 1, x≤0;

1−x, x >0. (f)f(x) =

2 cos(2πx), x≤1;

x+e^x−1, x >1.

(g)f(x) =

x², x≤0;

xlnx, x >0. (h)f_a(x) =

sin(ax), x <0;

ax−x², x≥0. (a∈R) Skizzieren Sie für (b)–(e) den Graphen vonf.

2. Überzeugen Sie sich, dass die Funktion f(x) =

x²+ 1, x≤0;

−x², x >0.

die Beziehung lim

x→0−f⁰(x) = lim

x→0+f⁰(x) erfüllt. Reicht das, um die Differenzierbarkeit vonf zu begründen? Skizzieren Sie den Graphen vonf.

3. Für welche Wahl der reellen Parameteraundbsind die folgenden Funktionen stetig? Kann mana undb so wählen, dassf sogar differenzierbar ist?

(a)f(x) =

x²+a, x≤0;

−x²+bx, x >0. (b) f(x) =

e^ax, x≤0;

bcos(ax) +a, x >0.

(c) f(x) =

ae^bx−b, x≤1;

abx+ lnx, x >1. (d)f(x) =

sin(ax+b), x≤0;

1 +ax², x >0.

4. Gegeben sei die Funktion

f(x) =

x²−ax+b, x≤0;

−3c+ae^−2x, x >0.

Bestimmen Sie die die reellen Parameter a, b, c so, dass f differenzierbar ist und die Beziehung

xlim→ ∞f(x) = 3erfüllt. Zeichnen Sie für diese Wahl der Parameter den Graphen vonf. 5. Gegeben sei die Funktion

f(x) =

x²−ax+b, x≤0;

−cx+ae^−2x, x >0.

Bestimmen Sie die reellen Parameter a, b, cso, dass f differenzierbar ist und die Tangente an den Graphen vonf im Punkt(0, f(0))parallel zur Geradeny−2x= 12verläuft.

1Sämtliche Funktionen auf diesem Blatt seien mit ihrem maximalen Definitionsbereich versehen.

Hausaufgaben und weiteres Vorgehen

1. Erstellen Sie ein eigenes Kompendium zum Thema Stetigkeit und Differenzierbarkeit (max. 1 Seite, siehe Anmerkungen Blatt 1). Rufen Sie sich so oft wie möglich die Inhalte des Kompendiums ins Gedächtnis. Lernen Sie sie nach und nachauswendig!

2. Wiederholen und festigen Sie die Inhalte der schon erstellten Kompendien und rechnen Sie einige Aufgaben zur Erinnerung, sofern Sie dies benötigen. Planen Sie bis zur Klausur immer wieder kleinere Wiederholungsphasen ein.

3. Rechnen Sie so viele Aufgaben zum Thema wie möglich und nötig. Arbeiten Sie wieder mit dem auf Blatt 1 beschriebenen Punktesystem.

4. Beschaffen Sie sich einige Altklausuren und markieren Sie sämtliche Aufgaben wieder mit farbigen Punkten entsprechend Ihrer Selbsteinschätzung. Trainieren Sie wieder vor allem die Aufgaben mit gelben Punkten und versuchen Sie, Ihre Leistungsgrenze weiter zu verschieben. Verwenden Sie nicht zu viel Zeit für sehr spezielle gehaltene Teilaufgaben, sondern konzentrieren Sie sich auf die im Brückenkurs erarbeiteten Kernkompetenzen.

Ich hoffe, Ihnen ein wenig geholfen zu haben, und wünsche Ihnen viel Erfolg bei der Prüfung!