Dr. Mario Helm Sommersemester 2017
Brückenkurs II
Blatt 6 (Ingenieure)
Übungsmaterial
(sollte mit Aufgaben aus Tutorium, Übungen und Musterklausuren kombiniert werden)
1. Berechnen Sie jeweils die ersten zwei bis vier Ableitungen und geben Sie dann f(n)(x) an. Geben Sie davon ausgehend die Taylor-Reihe zum angegebenen Entwicklungspunkt an und bestimmen Sie deren Konvergenzradius.
(a)f(x) =xex, x0= 0 (b)f(x) = (x+ 1)e−x, x0= 0undx1=−1 (c) f(x) = 2
1−3x, x0= 0 (d)f(x) = ln(2−x) (x <2), x0= 1
2. Geben Sie für 1(a) das Taylor-Polynom vierten Grades an und berechnen Sie eine Näherung für das IntegralR1
0 f(x)dx, indem Sief durch dieses Polynom approximieren. Vergleichen Sie die Näherung mit dem realen Wert.
3. Leiten Sie die Taylor-Reihe von f zum Entwicklungspunkt x0 = 0 aus der Summenformel für die geometrischen Reihe 1−q1 =
∞
P
n=0
qn (|q|<1)ab. Geben Sie den Konvergenzradius der Taylor-Reihe an. Verwenden Sie auch dafür nur Ihr Wissen über die geometrische Reihe.
(a)f(x) = 2
1−3x (b)f(x) = 1
2 + 4x (c)f(x) = 3x+ 1
2 + 4x (d)f(x) = 8 4−x2 4. Bestimmen Sie die Taylor-Reihe von f zum Entwicklungspunkt x0 = 0 ausgehend von der Dar-
stellung et =
∞
P
n=0 tn
n! (t ∈ R). Was können Sie ohne zu rechnen über den Konvergenzradius der Taylor-Reihe sagen?
(a)f(x) =xex (b)f(x) = (x+ 1)e−x (c)f(x) =−xe2x
5. Wie lauten die erste Ableitung f0 und die Stammfunktion F mit F(0) = 0 der Funktion f aus Aufgabe 1(a)? Bestimmen Sie ausgehend vom Ergebnis aus 1(a) die Taylor-Reihen von f0 und F zum Entwicklungspunktx0= 0 und geben Sie wieder die Konvergenzradien an.
6. Zeichnen Sie die Graphen der folgenden 2π-periodischen Funktionen auf dem Intervall [−3π,3π].
Sind die Funktionen gerade oder ungerade? Was können Sie damit für die Fourier-Koeffizienten schlussfolgern? Bestimmen Sie die Fourier-Reihefˆ(x).
(a)f(x) =−x(−π < x≤π) (b)f(x) =
x+π, −π≤x <0;
−x+π, 0≤x < π.
(c) f(x) =
x, −π≤x <0;
0, 0≤x < π. (d)f(x) =
−1, −π≤x <−π2; 0, −π2 ≤x≤π2; 1, π2 < x < π.
7. Gegen welchen Wert konvergiert die Fourier-Reihe aus Aufgabe 6(d) an den Stellenx0= 0,x1= 1, x2=−π2,x3=π? Sie benötigen für die Antwort nur die Definition vonf(x), jedoch nicht die Reihe selbst.
Hausaufgaben und weiteres Vorgehen
1. Erstellen Sie ein eigenes Kompendium zum Thema Potenz- Taylor- und Fourierreihen (ca. 1 Seite, siehe Anmerkungen Blatt 1). Rufen Sie sich so oft wie möglich die Inhalte des Kompendiums ins Gedächtnis. Lernen Sie sie nach und nachauswendig!
2. Wiederholen und festigen Sie die Inhalte der schon erstellten Kompendien und rechnen Sie einige Aufgaben zur Erinnerung, sofern Sie dies benötigen. Planen Sie bis zur Klausur immer wieder kleinere Wiederholungsphasen ein.
3. Rechnen Sie so viele Aufgaben zum Thema wie möglich und nötig. Arbeiten Sie wieder mit dem auf Blatt 1 beschriebenen Punktesystem.
4. Beschaffen Sie sich einige Altklausuren und markieren Sie sämtliche Aufgaben wieder mit farbigen Punkten entsprechend Ihrer Selbsteinschätzung. Trainieren Sie wieder vor allem die Aufgaben mit gelben Punkten und versuchen Sie, Ihre Leistungsgrenze weiter zu verschieben. Verwenden Sie dabei zunehmend nur noch die Materialien, die auch in der Prüfung zugelassen sind. Verwenden Sie nicht zu viel Zeit für sehr spezielle gehaltene Teilaufgaben, sondern konzentrieren Sie sich auf die im Brückenkurs erarbeiteten Kernkompetenzen.
Ich hoffe, Ihnen ein wenig geholfen zu haben, und wünsche Ihnen viel Erfolg bei der Prüfung!
