Dr. Mario Helm Sommersemester 2018
Brückenkurs II
Blatt 1
Übungsmaterial
(sollte mit Aufgaben aus Tutorium, Übungen und Musterklausuren kombiniert werden)
1. Berechnen Sie auf möglichst kluge Weise (2 + 3i)(1 +i), (2−i)(3 + 3i), i(3i−4), 2i3(2 + 4i), (1−2i)(1 + 2i),(3−2i)2.
2. Berechnen Sie
2 +i
1 + 2i, −2 +i
−4−2i, 2−i
3−i, 2−i 4i , i
1 +i, i
¯i, 4 + 8i
16 + 32i, 3 +i (3 +i)2 Erfinden Sie ggf. weitere Aufgaben in diesem Stil.
3. Wie lautet die kartesische Form der Zahlen z1= 3
cosπ
6 −isinπ 6
, z2= 2ei7π6 , z3=ei3π2 undz4=−2eiπ?
Zeichnen Sie alle Zahlen in die Gaußsche Zahlenebene ein und durchdenken Sie jeweils die gezeich- nete Situation.
4. Wie lautet die Polarform der Zahlen z1= 1 +i, z2= 1 +√
3i, z3= 2−2√
3i, z4=√
2(1−i), z5=−4i, z6=−8?
Notieren Sie jeweils sowohl die exponentielle Variante als auch diejenige mit Sinus und Kosinus.
Zeichnen Sie sich vor Beginn der Rechnung immer erst eine Skizze und nutzen Sie Symmetrien.
5. Berechnen Sie (ggf. mit Hilfe der Ergebnisse aus Aufgabe 4) folgende Potenzen:
p1= (1 +i)12, p2= (1 +√
3i)5, p3= (2−2√
3i)8, p4= (√
2(1−i))6, p5= (−4i)11. Geben Sie die Ergebnisse in kartesischer Form an.
6. Bestimmen Sie die komplexen Lösungen der folgenden Gleichungen:
(a)z3=−27i, (b)z3−8i= 0, (c)z2=12(1 +√
3i), (d)(z+ 1)(z4+ 16) = 0.
7. Lösen Sie die folgenden komplexen Gleichungen, indem Sie zunächst eine geeignete Substitution durchführen. Nutzen Sie ggf. die Ergebnisse aus Aufgabe 6.
(a)(z+ 2i)3=−27i, (b) 2iz3
−8i= 0, (c) (z−i+ 1)2=12(1 +√ 3i), (d)(z+ 1)((z+i)4+ 16) = 0.
8. Geben Sie die komplexen Lösungen folgender quadratischer Gleichungen an:
(a)z2−6z+ 25 = 0, (b)z2+ 2z+ 5 = 0, (c) 2z2−8z+ 10 = 0, (d)−2z2= 32.
9. Geben Sie die komplexen Lösungen folgender quadratischer Gleichungen an. Substituieren Sie wieder geeignet und nutzen Sie ggf. die Ergebnisse aus Aufgabe 8.
(a)(z−i)2−6(z−i) + 25 = 0, (b)(z+ 3i)2+ 2z+ 6i+ 5 = 0, (c)
z
2−2i 2
=−16.
10. Wie würden Sie bei der Lösung folgender Gleichungen vorgehen? Formulieren Sie mindestens die Strategie und rechnen Sie bei Bedarf auch die Lösungen aus. Sie können ggf. wieder Ergebnisse vorheriger Aufgaben nutzen.
(a)(z4+ 16)(2z2+ 4z+ 10) = 0, (b)4(z−1)2 (z−i+ 1)2−12 −12√ 3i
= 0, (c) (−z2−6iz+ 25)(z3+ 27i) = 0.
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11. Skizzieren Sie die Menge aller komplexen Zahlenz=x+iy (x, y∈R), die die jeweilige Ungleichung erfüllen:
(a)|z+i| ≤2, (b)|z−1 +i|>1, (c)|2−z|<2, (d)|z| ≤4.
12. Skizzieren Sie die Menge aller komplexen Zahlenz=x+iy (x, y∈R), die die jeweilige Ungleichung erfüllen:
(a)|Rez+ 1| ≤2, (b)|Imz|>3, (c) |2−Imz|<2, (d) Imz≥0, (e) Rez·Imz≤0.
13. Skizzieren Sie die Menge aller komplexen Zahlenz=x+iy (x, y∈R), die die jeweilige Ungleichung erfüllen:
(a) Imz≤(Rez)2, (b) Rez−(Imz)2≤0, (c) Imz−Rez >1, (d)eRez≥Imz−1.
14. Falls Sie Probleme beim Bilden von Schnittmengen haben, kombinieren Sie beliebige Bedingungen aus den letzten 4 Aufgaben.
Hausaufgaben
1. Erstellen Sie eine eigene Grobzeitplanung bis zur Prüfung und eine Feinplanung für die nächsten 2 Wochen. Reservieren Sie die benötigten Zeiten für mindestens 2 Wochen im Voraus im Kalender.
Verabreden Sie sich ggf. zu Lerngruppen.
2. Falls Ihre Prüfungsordnung einen Rücktritt erlaubt, markieren Sie sich das späteste Datum hierfür im Kalender.
3. Erstellen Sie ein eigenes Kompendium zum Thema Komplexe Zahlen (max. 2 Seiten). Sie können meinen Vorschlag gerne als Ausgangspunkt nutzen, sollten jedoch alles verstanden haben, was Sie übernehmen. Das Endergebnis sollte auf jeden Fall individuell angepasst und von Ihnen handge- schrieben sein.
4. Rechnen Sie so viele Aufgaben zum Thema wie möglich und nötig. Versehen Sie dafür zunächst die Aufgaben auf diesem Blatt, aus den Übungen/Tutorien oder Musterklausuren mit grünen, gelben und roten Punkten (kann ich sicher, kann ich halbwegs, fällt mir schwer). Grüne Aufgaben brauchen Sie nur vereinzelt zur Probe rechnen, gelbe Aufgaben sollten Sie verstärkt trainieren, rote eher erst dann angehen, wenn Sie die (dann ehemals) gelben können. Eine Rechenkontrolle könnte zum Beispiel mit Hilfe der Seitehttps://www.wolframalpha.com/ erfolgen.
5. Rufen Sie sich so oft wie möglich die Inhalte des Kompendiums ins Gedächtnis. Lernen Sie sie nach und nach auswendig!
6. Schauen Sie sich vorbereitend für das nächste Treffen ein Beispiel zum Gauß-Algorithmus und zur Determinanten-Berechnung an.
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