Dr. Mario Helm
Wintersemester 2019/20
Brückenkurs III
Blatt 2
Übungsmaterial
(sollte mit Aufgaben aus Tutorium, Übungen und Musterklausuren kombiniert werden) 1. Bestimmen Sie Gradient und Hesse-Matrix der folgenden Funktionen:
(a)f(x, y) = 3xy2+x3y (b)f(x, y) =exsiny (c)f(x, y) = 1
xy2 (d)f(x, y) = ln
x2 y
2. Bestimmen Sie Lage und Art sämtlicher Extrema folgender Funktionen. Geben Sie auch die zuge- hörigen Funktionswerte an.
(a)f(x, y) = 9xy−3x3−3y3−5 (b)f(x, y) =−x3+y(3x−y2) + 1 (c)f(x, y) = (x+y)3−6xy (d)f(x, y) = x12 +y12 + 2xy (e)xe−2x2−y2 (f)f(x, y) = 2x(3y−x2)−2y3+ 1 3. Bestimmen Sie die Richtungsableitungen ∂f
∂~r(~x0) für die angegebenen Funktionen, Punkte und Richtungen. Nutzen Sie ggf. Zwischenergebnisse aus Aufgabe 2.
(a)f(x, y) = 9xy−3x3−3y3−5, ~x0= [1,1]T, ~r= [−1,0]T (b)f(x, y) =xe−2x2−y2, ~x0= [0,−1]T, ~r= 1
5[4,−3]T (c) f(x, y) = 2x(3y−x2)−2y3+ 1, ~x0= [2,0]T, ~r= 1
√2[−1,1]T
4. In welcher Richtung wird der Anstieg der Funktion
f(x, y) = 9xy−3x3−3y3−5
im Punkt ~x0 = [1,0]T maximal bzw. minimal? Berechnen Sie diesen maximalen und minimalen Anstieg. Nutzen Sie ggf. Zwischenergebnisse aus Aufgabe 2 oder 3.
5. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene an den Graphen der Funktion f(x, y) = 9xy−3x3−3y3−5
im Punkt~x0= [1,0]T. Nutzen Sie ggf. Zwischenergebnisse aus Aufgabe 2, 3 oder 4.
Hausaufgaben
1. Erstellen Sie ein eigenes Kompendium zum Thema lokale Extrema und Richtungsableitungen (ma- ximal eine Seite).
2. Rechnen Sie so viele Aufgaben zum Thema wie möglich und nötig. Versehen Sie dafür wieder die Aufgaben auf diesem Blatt, aus den Übungen/Tutorien oder Musterklausuren mit grünen, gelben und roten Punkten (kann ich sicher, kann ich halbwegs, fällt mir schwer). Grüne Aufgaben brauchen Sie nur vereinzelt zur Probe rechnen, gelbe Aufgaben sollten Sie verstärkt trainieren, rote eher erst dann angehen, wenn Sie die (dann ehemals) gelben können.
3. Rufen Sie sich so oft wie möglich die Inhalte des Kompendiums ins Gedächtnis. Lernen Sie sie nach und nach auswendig!
4. Schauen Sie sich vorbereitend für das nächste Treffen je ein Beispiel zur Trennung der Variablen, Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten und exakter Differentialglei- chung (nur Ingenieure) an.
