Dr. Mario Helm
Wintersemester 2019/20
Brückenkurs III
Blatt 1
Übungsmaterial
(sollte mit Aufgaben aus Tutorium, Übungen und Musterklausuren kombiniert werden) 1. Bestimmen Sie folgende Determinanten:
(a)
2 4 6 3
, (b)
3 −1 4 −2
, (c)
3 1 2 4 2 2 1 3 1
, (d)
2 −1 0
−1 5 4 1 −2 1
, (e)
3 1 2
0 2 −2
0 3 1
. 2. Für Liebhaberinnen und Liebhaber dieses Vorgehens: Bestimmen Sie folgende Determinanten mit
Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes:
(a)
3 1 2 0 2 2 0 3 1
, (b)
2 −1 0
−1 0 4
1 0 1
, (c)
3 0 0
42 2 −2 81 3 1
.
3. Bestimmen Sie sämtliche Eigenwerte sowie die zugehörigen Eigenvektoren der MatrixA. Geben Sie zu allen Eigenwerten die algebraische und geometrische Vielfachheit an.
(a)A=
5 −8
−1 3
, (b)A= 5 2
0 5
, (c)A=12 √
3 1
−1 √ 3
, (d)A=
−2 0 13 −2
. 4. Bestimmen Sie sämtliche Eigenwerte sowie die zugehörigen Eigenvektoren der MatrixA. Geben Sie
zu allen Eigenwerten die algebraische und geometrische Vielfachheit an.
(a)A=
−1 0 0 0 8 −4
0 1 4
, (b)A=
−2 2 2
−1 0 1 2 −2 −2
, (c)A=
−1 0 0 3 −1 −3
−3 0 2
,
(d)A=
4 4 2
0 2 1
0 −1 0
, (e)A=
8 −3 −2
0 4 0
2 −1 4
, (f)A=
3 0 1 0 4 0
−1 0 5
.
5. Für die Ingenieure: Bestimmen Sie sämtliche Eigenwerte der vom reellen Parameterαabhängigen MatrixA.
(a)A=
−3 5 −2 0 −4 −1
0 α 0
, (b)A=
2 2 1
0 α α
0 −1 0
, (c)A=
2 2 1
0 2 α
0 −1 0
.
6. Gegeben sei eine Matrix A mit den Eigenwerten λ1 = 1 und λ2= 2. Welche Eigenwerte besitzen die Matrizen
(a)A3+ 2A−5I, (b)(A−I)2+A3+I, (c) A−1+ 3A2, (d)(A2−3I)−1+ 3A−I?
7. Gegeben sei eine Matrix A mit den Eigenwerten λ1 = 0 und λ2 = −1. Für welche Werte des Parametersα∈Rsind die folgenden Matrizen invertierbar?
(a)A2+αA−I, (b)(A−αI)2?
Hausaufgaben
1. Erstellen Sie eine eigene Grobzeitplanung bis zur Prüfung und eine Feinplanung für die nächsten 2 Wochen. Reservieren Sie die benötigten Zeiten für mindestens 2 Wochen im Voraus im Kalender.
Verabreden Sie sich ggf. zu Lerngruppen.
1
2. Falls Ihre Prüfungsordnung einen Rücktritt erlaubt, markieren Sie sich das späteste Datum hierfür im Kalender.
3. Erstellen Sie ein eigenes Kompendium zum Thema Eigenwerte (maximal eine Seite).
4. Rechnen Sie so viele Aufgaben zum Thema wie möglich und nötig. Versehen Sie dafür zunächst die Aufgaben auf diesem Blatt, aus den Übungen/Tutorien oder Musterklausuren mit grünen, gelben und roten Punkten (kann ich sicher, kann ich halbwegs, fällt mir schwer). Grüne Aufgaben brauchen Sie nur vereinzelt zur Probe rechnen, gelbe Aufgaben sollten Sie verstärkt trainieren, rote eher erst dann angehen, wenn Sie die (dann ehemals) gelben können.
5. Rufen Sie sich so oft wie möglich die Inhalte des Kompendiums ins Gedächtnis. Lernen Sie sie nach und nach auswendig!
6. Schauen Sie sich vorbereitend für das nächste Treffen je ein Beispiel zur Extremwertbestimmung für Funktionen mehrerer Variablen und die Bestimmung einer Richtungsableitung an.
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