(sollte mit Aufgaben aus Tutorium, Übungen und Musterklausuren kombiniert werden) 1. Berechnen Sie jeweils die Determinante der Matrix A.

Dr. Mario Helm Sommersemester 2017

Brückenkurs II

Blatt 2

Übungsmaterial

(sollte mit Aufgaben aus Tutorium, Übungen und Musterklausuren kombiniert werden) 1. Berechnen Sie jeweils die Determinante der Matrix A.

(a) A = 1 2

4 3

, (b) A = 1 2

4 8

, (c) A =





1 0 2

2 2 2

2 −3 7



, (d) A =





−1 3 1

−2 0 −4 1 −4 1





2. Für welche der Fälle aus Aufgabe 1 hat das LGS A~ x = ~b eine eindeutige Lösung? In welchen Fällen ist A invertierbar? Wie lautet die Formel für die eindeutige Lösung bei gegebener Inverser? Welche Lösung hat das LGS A~ x = ~ 0, wenn det(A) 6= 0? Machen Sie sich bei allen Fragen zunächst klar, was die Antwort bei der Lösung der reellen Gleichung ax = b wäre.

3. Berechnen Sie die Determinante der jeweiligen Matrix A. Entscheiden Sie mit deren Hilfe, wie viele Lösungen das zugehörige LGS A~ x = ~ 0 in Abhängigkeit vom Parameter α besitzt.

(a)





1 0 2

2 α 2

2 −3 7



 (b)





1 4 5

2 6 7

1 6 α − 2



 (c)





−1 3 α + 3

α 9 −4

1 −4 1



 (d)





−3 2 α

−3α 4 −3

−6 5 0





4. Die folgenden LGS A~ x = ~b besitzen jeweils genau eine Lösung. Berechnen Sie diese mit Hilfe des Gauß-Algorithmus. Die Aufgabe dient dem Erlernen des Gauß-Algorithmus – bearbeiten Sie also auch das 2 × 2–Beispiel bitte damit (oder lassen Sie es weg).

(a) A = 1 2

4 3

, ~b = −1

6

(b) A =





−1 3 1

−2 0 −4 1 −4 1



, ~b =





−3 6

−1





Weitere Beispiele mit genau einer Lösung erhalten Sie bei Bedarf wie folgt:

• Suchen Sie sich eine Matrix A mit det(A) 6= 0 (zum Beispiel, indem Sie die Parameter in Aufgabe 3 entsprechend wählen).

• Geben Sie eine beliebige Lösung ~ x vor und berechnen Sie ~b = A~ x.

• Versuchen Sie nun, ~ x nur aus A und ~b zu rekonstruieren.

5. Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge des (bereits aufgelösten) linearen Gleichungssystems A~ x = ~b. Die Aufgaben (b) und (c) sind vor allem für die Ingenieure gedacht, aber auch den Natur- wissenschaftlern zu empfehlen.

(a) A =





1 0 2

0 −1 1

0 0 0



, ~b =



 1 3 0



 (b) A =





4 5 1 2 3 0 0 0 0



, ~b =



 1 2 0





(c) A =





3 −1 1 1 0 −2

0 0 0



, ~b =



 2 4 0



 (d) A =





−3 2 1 0 −1 2

0 0 0



, ~b =





−1 1 0





6. Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems A~ x = ~b mittels Gauß- Algorithmus. Nutzen Sie für das Rückwärtsauflösen ggf. auch die Ergebnisse aus Aufgabe 5 (a) A =





1 0 2

2 2 2

2 −3 7



, ~b =



 1

−4 11



 (b) A =





1 4 5 2 6 7 1 6 8



, ~b =



 1 0 3





(c) A =





−1 3 1

−2 9 −4 1 −4 1



, ~b =



 2 16

−6



 (d) A =





−3 2 1

−3 0 5

−6 5 0



, ~b =





−1 1

−3





7. Geben Sie für die Matrizen in den Aufgaben 5a, 6a und 5d den Rang und die Dimension des Nullraums an. Verwenden Sie dafür lediglich den Endzustand im Gauß-Algorithmus und die Di- mensionsformel für Kern und Bild.

8. Wie lauten die Lösungen der zu den Matrizen aus den Aufgaben 5a, 6a, 5d gehörigen homogenen LGS A~ x = ~ 0? Benutzen Sie die Ergebnisse der genannten Aufgaben; rechnen Sie nicht erneut!

9. Geben Sie eine Matrix A ∈ R

^3×3

und einen Vektor ~b ∈ R

³

an, für die das LGS A~ x = ~b keine Lösung hat.

10. Vor allem für Ingenieure: Wie sind die Parameter α und β in den Gleichungssystemen zu wählen, damit diese genau eine/keine/unendlich viele Lösungen besitzen?

(a) A =





1 0 2

0 −1 1 0 0 α − 4



, ~b =



 1 3β β + 2



 (b) A =





4 5 1

2 3 0

0 2α + 1 0



, ~b =



 1 7 β − 1





11. Vor allem für Ingenieure: Wie sind die Parameter α und β in den Gleichungssystemen zu wählen, damit diese genau eine/keine/unendlich viele Lösungen besitzen?

(a) A =





1 4 5 2 6 7 1 6 α



, ~b =



 1 0 3β



 (b) A =





1 0 2

2 2 2

α −3 7



, ~b =



 1

−4 β





(c) A =





1 α 5 2 6 7 1 6 8



, ~b =



 β

0 3



 (d) A =





1 4 5 α 6 7 1 6 8



, ~b =



 1 β 3





Tipps bei Problemen mit dem parameterabhängigen Gauß-Verfahren:

• Notieren Sie die Gleichungssysteme voll aus – verzichten Sie auf reduzierte Darstellungen wie in den Musterlösungen.

• Versuchen Sie immer eine Trapez-/Dreiecksstruktur herzustellen – tauschen Sie hierfür ggf.

Zeilen und Spalten (bei letzteren auf korrekte Zuordnung zu den Variablen achten!)

• Meist ist es geschickt, den Parameter in der Matrix (hier α) über Zeilen- und Spaltentausch in die rechte untere Ecke zu bringen.

Hausaufgaben

1. Dringend, falls noch nicht erledigt: Melden Sie sich bitte unter

https://bildungsportal.sachsen.de/opal/auth/RepositoryEntry/13604651010/

CourseNode/95181749470984?3

in OPAL an (Link auch auf meiner Homepage). Füllen Sie bitte den Fragenbogen unter “Einschrei- bung“ vollständig aus (stabile Internetverbindung wichtig). Setzen Sie Kreuze bitte auf alle Kurse, die für Sie interessant sind, mindestens jedoch auf Brückenkurs Mathematik II.

2. Erstellen Sie ein eigenes Kompendium zum Thema Lineare Gleichungssysteme (max. 2 Seiten, siehe Anmerkungen Blatt 1). Rufen Sie sich so oft wie möglich die Inhalte des Kompendiums ins Gedächtnis. Lernen Sie sie nach und nach auswendig!

3. Rechnen Sie so viele Aufgaben zum Thema wie möglich und nötig. Arbeiten Sie wieder mit dem auf Blatt 1 beschriebenen Punktesystem. Eine Rechenkontrolle könnte wieder mit Hilfe der Seite https://www.wolframalpha.com/ erfolgen.

4. Schauen Sie sich vorbereitend den Folgen- und Reihenbegriff, einige typische Grenzwertberechnun-

gen für Folgen und die wichtigsten Aussagen zur geometrischen Reihe an.