(sollte mit Aufgaben aus Tutorium, Übungen und Musterklausuren kombiniert werden) 1. Berechnen Sie die Stammfunktion unter Benutzung von Grundintegralen.

Dr. Mario Helm Sommersemester 2017

Brückenkurs II

Blatt 5

Übungsmaterial

(sollte mit Aufgaben aus Tutorium, Übungen und Musterklausuren kombiniert werden) 1. Berechnen Sie die Stammfunktion unter Benutzung von Grundintegralen.

(a) f (x) = 2 + x + 3x ² − 1

3 x ⁴ + 2x ⁷ (b) f (x) = 1 + 3 x − 4

x ² + x ⁻³ (c) f (x) = √

x + x √ x + √

x ² − x ⁻

+ 1

√ x − 2

√

x ³ (d) f (x) = e ^x − cos x + 3 sin x (e) f (x) = 2 ln x + 4

x − 1

1 + x ² (f) f (x) = 1

√ 1 − x ² + cosh x − 3 sinh x

Aufgaben diesen Typs (erfinden Sie ruhig weitere) sollten Sie ohne jedes Hilfsmittel in kurzer Zeit lösen können. Sinnvolle Zeitvorgaben wären beispielsweise max. 5 Sekunden für jeden Summanden aus Aufgabe (a) und max. 15 Sekunden für jeden Summanden aus Aufgabe (c).

2. Bestimmen Sie die folgenden bestimmten und unbestimmten Integrale mittels partieller Integration.

(a) Z 1

0

xe ^x dx (b) Z

x ² sin x dx (c) Z 2

1

x ² ln(x ² ) dx (d) Z x

e ^x dx (e)

Z

(2x + 1)e ^ax dx (a > 0) (f) Z

x cos(4x) dx

3. Bestimmen Sie die folgenden Integrale mittels geeigneter Substitutionen.

(a) Z

(x + 2) ⁵ dx (b) Z 1

x + 1 dx (c)

Z 4

√ x − 1 dx (d)

Z 3

3x + 5 dx (e)

Z 4

(2x + 4) ² dx (f)

Z

2x cos(x ² ) dx (g) Z

4xe ^2x

⁻³ dx (h)

Z 3x ² dx

√

x ³ + 1 (i) Z

− 1 x ²

e

dx (j)

Z arctan x 1 + x ² dx (k)

Z

x cos(x ² ) dx (l) Z

2xe ^2x

⁻³ dx (m)

Z 5x ² dx

√ x ³ + 1 (n) Z 3

x ² e

dx (o)

Z arctan(2x) 16x ² + 4 dx Beachten Sie die Korrespondenzen in den Aufgaben (f )-(j) und (k)-(o).

4. Welcher Ausdruck sollte sinnvollerweise substituiert werden? Es reicht die Angabe der neuen Inte- grationsvariablen; die Integrale müssen nicht berechnet werden.

(a) Z

x ² e ^1−x

dx (b)

Z 2x ⁵ + x ²

√

x ⁶ + x ³ dx (c)

Z 5 cos √

√ x

x dx (d)

Z 2 arcsin x

√ 1 − x ² dx

Erfinden Sie weitere Beispiele, die sich mittels Substitution bearbeiten lassen. Sie erhalten dadurch eine weitere hilfreiche Perspektive auf diese Aufgaben – lassen Sie diesen Teil also bitte nicht aus.

5. Welche Integrale würden Sie mit partieller Integration und welche mit Substitution bearbeiten? Sie brauchen die Integrale nicht bestimmen; die Angabe der Methode reicht aus.

(a) Z

x ² e ^x dx (b) Z

xe ^x

dx (c) Z

xe ^x dx (d) Z

x cos(x ² ) dx (e) Z

x ² cos(3x) dx

6. Bestimmen Sie die folgenden Integrale mittels Partialbruchzerlegung des Integranden.

(a)

Z 5x ² − x + 2

(x ² + 2x)(x − 1) dx (b)

Z 2

x + x ² dx (c)

Z 5x ² − 17x + 12

x(x ² − 4x + 4) dx (d)

Z x ² + x − 1

x ³ + x dx

Weitere Beispiele mit „schönen Zahlen“ erhalten Sie, in dem Sie sich eine PBZ vorgeben und ausmul-

tiplizieren. Das Ausmultiplizieren kann zum Beispiel die Website https://www.wolframalpha.com

für Sie übernehmen.

7. Geben Sie die Ansätze für die Partialbruchzerlegung folgender rationaler Funktionen an. Es reicht, den Ansatz anzugeben; die PBZ selbst braucht nicht berechnet zu werden.

(a) f (x) = 7x ² + 42x + 23

x ² (x + 5) (b) f (x) = −4 (x ² − 1)(x ² + 1) (c) f (x) = 3x ³

x ⁴ − 2x ³ + x ² (d) f (x) = x − 13 x ³ − 6x ² + 9x

8. Trainieren Sie das schnelle Erfassen des Aufgabentyps an den Beispielen der Aufgaben 1–7. Dafür empfiehlt sich das in Aufgabe 5 auf Blatt 3 beschriebene Vorgehen.

9. Die folgenden Kurven umschließen jeweils eine eindeutig bestimmte endliche Fläche. Berechnen Sie deren Inhalt.

(a) y = 1

2 x+1, y = 2− x ²

2 (b) x = 0, x = 1, y+x ² = 0, x = ln y (c) y = 1−|x|, y+1 = x ² Bei Aufgaben diesen Typs sollte man als erstes eine Skizze erstellen. Aus dieser wird dann klar, welche Kurvenschnittpunkte benötigt werden und welche Integrale zu berechnen sind.

10. Vor allem für die Ingenieure, aber auch für die Naturwissenschaftler sinnvoll: Warum können die fol- genden uneigentlichen Integrale niemals konvergieren? Beantworten Sie die Frage, ohne die Stamm- funktion zu bestimmen.

(a) Z ∞

0

x ² e ^x dx (b) Z ∞

e

√

x ln √

x dx (c) Z 4

−∞

e ^−x

x dx (d) Z ∞

2

x ³ + x − 1 2x ³ + x dx

11. Bestimmen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale. Machen Sie sich zuerst klar, an welcher Integrationsgrenze Sie die Grenzwertbetrachtung durchführen müssen.

(a) Z ∞

0

e ^−x dx (b) Z ∞

1

1

√

x dx (c) Z −3

−∞

4

(2x + 4) ² dx (d) Z 2

1

√ 4

x − 1 dx (e) Z 0

−1

3 x ² e

dx

Hausaufgaben

1. Erstellen Sie ein eigenes Kompendium zum Thema Integralrechnung (ca. 1 Seite, siehe Anmerkungen Blatt 1). Rufen Sie sich so oft wie möglich die Inhalte des Kompendiums ins Gedächtnis. Lernen Sie sie nach und nach auswendig!

2. Wiederholen und festigen Sie die Inhalte der schon erstellten Kompendien und rechnen Sie einige Aufgaben zur Erinnerung, sofern Sie dies benötigen.

3. Rechnen Sie so viele Aufgaben zum Thema wie möglich und nötig. Arbeiten Sie wieder mit dem auf Blatt 1 beschriebenen Punktesystem.

4. Für Naturwissenschaftler: Schauen Sie sich vorbereitend die wesentlichen Inhalte des Themas Ste- tigkeit und Differenzierbarkeit an. (Schwerpunkt sind stückweise definierte Funktionen.)

5. Für Ingenieure: Schauen Sie sich vorbereitend die wesentlichen Inhalte zu den Themen Potenz-,

Taylor- und Fourierreihen an.