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Aufgabe 54: Berechnen Sie die Inverse der Matrix

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Academic year: 2021

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Ubungen zur Ingenieur-Mathematik I ¨ WS 2017/2018

Blatt 12 16.01.2018

Aufgabe 54: Berechnen Sie die Inverse der Matrix

2 3 −2 4 9 −4

−2 6 3

 .

L¨ osung: Wir l¨ osen diese Aufgabe mittels des Gauß-Jordan-Algorithmus. Dieser ist eine Erweiterung des Gauß-Algorithmus. Anstatt die Matrix in eine Dreieckform zu bringen wird die Matrix in Diagonalform umgewandelt. Zus¨ atzlich setzen wir als rechte Seite die Einheitsmatrix. Dann gilt:

2 3 −2 1 0 0 ·

12

4 9 −4 0 1 0

−2 6 3 0 0 1

1

32

−1

12

0 0 ·(−4) ·(2)

4 9 −4 0 1 0 ← - +

−2 6 3 0 0 1 ← - + 1

32

−1

12

0 0

0 3 0 −2 1 0 ·

13

0 9 1 1 0 1

1

32

−1

12

0 0

0 1 0 −

23 13

0 ·(−9)

0 9 1 1 0 1 ← - +

1

32

−1

12

0 0 ← - + 0 1 0 −

23 13

0

0 0 1 7 −3 1 ·(1)

1

32

0

152

−

62

1 ← - + 0 1 0 −

23 13

0 · −

32

0 0 1 7 −3 1

1 0 0

172

−

72

1 0 1 0 −

23 13

0

0 0 1 7 −3 1

Probe:

2 3 −2

4 9 −4

−2 6 3

17

2

−

72

1

−

23 13

0 7 −3 1

 =

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Aufgabe 55: Gegeben sei eine lineare Abbildung f : R

3

→ R

4

mit

f(x) = Ax, A =

3 1 5 1 0 1 1 0 1 0 1 2

 .

Bestimmen Sie Kern und Bild dieser Abbildung. Sind die Spalten-

/Zeilenvektoren linear abh¨ angig?

(2)

L¨ osung: Ker(A) = {x ∈ R

3

| Ax = 0}

3x

1

+ x

2

+ 5x

3

= 0 ·(−

13

)

x

1

+ x

3

= 0 ← - +

x

1

+ x

3

= 0 ← - +

x

2

+ 2x

3

= 0

⇔ 3x

1

+ x

2

+ 5x

3

= 0

−

13

x

2

−

23

x

3

= 0 ·(−1) ·3

−

13

x

2

−

23

x

3

= 0 ← - +

x

2

+ 2x

3

= 0 ← - +

⇔ 3x

1

+ x

2

+ 5x

3

= 0

−

13

x

2

−

23

x

3

= 0 0 = 0 0 = 0

⇔ x

2

= −2x

3

3x

1

= −x

2

− 5x

3

= −3x

3

⇔ x

1

= −x

3

⇒ Ker(A) =

 t

−1

−2 1

t ∈ R

Bild(A) = {b ∈ R

4

| es gibt ein x ∈ R

3

mit Ax = b}

3x

1

+ x

2

+ 5x

3

= b

1

·(−

13

)

x

1

+ x

3

= b

2

← - +

x

1

+ x

3

= b

3

← - +

x

2

+ 2x

3

= b

4

⇔ 3x

1

+ x

2

+ 5x

3

= b

1

−

13

x

2

−

23

x

3

= b

2

−

13

b

1

·(−1) ·3

−

13

x

2

−

23

x

3

= b

3

−

13

b

1

← - +

x

2

+ 2x

3

= b

4

← - +

⇔ 3x

1

+ x

2

+ 5x

3

= b

1

−

13

x

2

−

23

x

3

= b

2

−

13

b

1

0 = b

3

− b

2

0 = b

4

+ 3b

2

− b

1

⇔ b

3

= b

2

b

4

= −3b

2

+ b

1

⇒ Bild(A) =

 

 

 b

1

b

2

b

2

−3b

2

+ b

1

b

1

, b

2

∈ R

 

 

Die Spalten der Matrix A sind linear abh¨ angig, denn die letzte Spalte l¨ aßt sich als Linearkombination der ersten beiden Spalten schreiben:

1 ·

 3 1 1 0

 + 2 ·

 1 0 0 1

=

 5 1 1 2

 .

Die Zeilen der Matrix sind ebenfalls linear abh¨ angig, da die zweite und die dritte Zeile

identisch sind.

(3)

Aufgabe 56: Gegeben sei die Matrix A =

3 −2 −1

6 2 2

−3 8 3

 ∈ R

3,3

, sowie der Vektor b =

−4 16 22

 ∈ R

3

.

a) L¨ osen Sie das Gleichungssystem Ax = b mittels Gauß-Elimination.

Geben Sie die beim L¨ osen auftretenden Matrizen L

(1)

und L

(2)

an.

b) In der LR-Zerlegung (siehe Skript) treten Matrizen L

(1)

, L

(2)

, (L

(1)

)

−1

, (L

(2)

)

−1

auf. Geben Sie diese an, und be- rechnen Sie L = (L

(1)

)

−1

(L

(2)

)

−1

.

c) Wir definieren nun R = L

(2)

L

(1)

A = A

(3)

. Rechnen Sie nach, dass A = LR gilt.

d) L¨ osen Sie schließlich das Gleichungssystem Ax = b noch einmal, diesmal durch Vorw¨ artseinsetzen (Ly = b) und anschließendes R¨ uckw¨ artseinsetzen (Rx = y).

L¨ osung:

a) Die Gauß-Elimination ergibt:

3 −2 −1

6 2 2

−3 8 3

−4 16 22

·(−2)

← - +

·1

← - +

→

3 −2 −1

0 6 4

0 6 2

| {z }

=L(1)A

−4 24 18

·(−1)

← - +

→

3 −2 −1

0 6 4

0 0 −2

| {z }

=L(2)L(1)A=R

−4 24

−6

(Die Bezeichnungen L

(2)

, L

(1)

, R wurden hier f¨ ur Teil b) schonmal notiert.) R¨ uckw¨ artseinsetzen ergibt nun:

−2x

3

= −6 ⇒ x

3

= 3,

6x

2

+ 4x

3

= 24 ⇒ 6x

2

= 12 ⇒ x

2

= 2, 3x

1

− 2x

2

− x

3

= −4 ⇒ 3x

1

= 3 ⇒ x

1

= 1.

b) Im ersten Gauß-Schritt wurde die erste Zeile mit −2 multipliziert und zur zwei- ten addiert, demnach steht in der Matrix L

(1)

in der zweiten Zeile in der ersten Spalte eine −2 und in der zweiten Spalte eine 1. Analog steht in der dritten Zeile der ersten Spalte eine 1, da die erste Zeile mit 1 multipliziert wird und zur dritten addiert wird. Analoges gilt f¨ ur L

(2)

und wir erhalten

L

(1)

=

1 0 0

−2 1 0 1 0 1

 , L

(2)

=

1 0 0

0 1 0

0 −1 1

 .

(4)

Damit sind:

L

(1)

−1

=

1 0 0 2 1 0

−1 0 1

 , L

(2)

−1

=

1 0 0 0 1 0 0 1 1

und

L = L

(1)

−1

L

(2)

−1

=

1 0 0 2 1 0

−1 0 1

1 0 0 0 1 0 0 1 1

 =

1 0 0 2 1 0

−1 1 1

 .

c) Die Matrix R =

3 −2 −1

0 6 4

0 0 −2

 haben wir schon bei der Gauß-Elimination berechnet. Multiplizieren wir von links mit L erhalten wir wieder A:

LR =

1 0 0 2 1 0

−1 1 1

3 −2 −1

0 6 4

0 0 −2

 =

3 −2 −1

6 2 2

−3 8 3

 = A

d) Vorw¨ artseinsetzen: Ly = b ⇔

1 0 0 2 1 0

−1 1 1

 y

1

y

2

y

3

 =

−4 16 22

y

1

= −4,

2y

1

+ y

2

= 16 ⇒ y

2

= 24,

−y

1

+ y

2

+ y

3

= 22 ⇒ y

3

= −6.

R¨ uckw¨ artseinsetzen: Rx = y ⇔

3 −2 −1

0 6 4

0 0 −2

 x

1

x

2

x

3

 =

−4 24

−6

−2x

3

= −6 ⇒ x

3

= 3,

6x

2

+ 4x

3

= 24 ⇒ 6x

2

= 12 ⇒ x

2

= 2, 3x

1

− 2x

2

− x

3

= −4 ⇒ 3x

1

= 3 ⇒ x

1

= 1.

Aufgabe 57: a) Berechnen Sie die Matrizenprodukte AB und BA f¨ ur:

A =

1 2 3 −1

, B =

2 0 1 1

.

b) Berechnen Sie die Matrizenprodukte (AB)C und A(BC) f¨ ur:

i) A =

2 1 3 1

, B =

−1 1 1 0

, C =

1 4 2 3

; ii) A =

2 1 −1

3 1 2

, B =

1 1

2 0

3 −1

 , C = 1

3

.

L¨ osung:

(5)

a)

AB =

1 2 3 −1

2 0 1 1

=

2 + 2 0 + 2 6 − 1 0 − 1

=

4 2 5 −1

BA =

2 0 1 1

1 2

3 −1

=

2 + 0 0 + 2 1 + 3 2 − 1

=

2 4 4 1

Also: AB 6= BA . b) i)

AB =

2 1 3 1

−1 1 1 0

=

−1 2

−2 3

(AB)C =

−1 2

−2 3

1 4 2 3

=

3 2 4 1

BC =

−1 1 1 0

1 4 2 3

=

1 −1

1 4

A(BC) =

2 1 3 1

1 −1

1 4

=

3 2 4 1

Also: (AB)C = A(BC) ! ii)

AB =

2 1 −1 3 1 2

 1 1 2 0 3 −1

 =

1 3 11 1

(AB)C =

1 3 11 1

1 3

= 10

14

BC =

 1 1 2 0 3 −1

 1

3

=

 4 2 0

A(BC) =

2 1 −1 3 1 2

 4 2 0

 = 10

14

Also: A(BC) = (AB)C !

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