Addiere das 1-fache von Zeile 1 zur Zeile 3

(1)

GF Mathematik 4c PAM Ubungsfragen¨

Vektorgeometrie 1

Repr¨asentanten von zwei Vektoren~a und~b

~a

~b

~c

~b

~a+~b

−~b

~a−~b ~b

~b

−~a

Vektorgeometrie 2 Eine Vektorgleichung

1

3 2~a−~b+~c

= 2~b− ¹₂ ~a+ 2~b−3~c

|| ·6 2 2~a−~b+~c

= 12~b−3 ~a+ 2~b−3~c 4~a−2~b+ 2~c= 6~b−3~a+ 9~c

7~a= 8~b+ 7~c

~a= ⁸₇~b+~c

Wenn die Gleichung α~a+β~b+γ~c=~0 nur die L¨osung α=β =γ = 0 hat.

Nein, denn die Gleichung ist f¨ur α= 1, β =−⁸₇ und γ =−1 erf¨ullt.

1

(2)

Ein lineares Gleichungssystem aus 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.

Erweiterte Matrix:





1 −2 −5 2

0 3 −5 −3

−1 3 3 −3





Addiere das 1-fache von Zeile 1 zur Zeile 3:





1 −2 −5 2

0 3 −5 −3

0 1 −2 −1



 Tausche Zeilen 2 und 3:





1 −2 −5 2

0 1 −2 −1

0 3 −5 −3





Addiere das −3-fache von Zeile 2 zur Zeile 3:





1 −2 −5 2

0 1 −2 −1

0 0 1 0









1 −2 0 2 0 1 0 −1

0 0 1 0









1 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 1 0



 L={(0,−1,0)}

(3)

Vektorgeometrie 4

3



 2 4

−1



−2





−3 0 5



=



 6 8

−3



−





−6 0 10



=



 12

8

−13





~a·~b=



 2 4

−1



·





−3 0 5



=−6 + 0−5 =−11

~a×~b=



 2 4

−1



×





−3 0 5



=



 20

−7 12





~ a_s =





−2 4

−1





Vektorgeometrie 5 M ³⁻⁵₂ ,⁷⁺¹₂ ,⁴⁺⁸₂

=M(−1,4,6) S ³⁻⁵⁺⁸₃ ,⁷⁺¹⁺⁴₃ ,⁴⁺⁸⁻³₃

=S(2,4,3) Vektorgeometrie 6

P(x,0,0) ⇒ −→

P A=



 1−x

0 3



, −−→ P B =



 0−x

2 1





|−→

P A|=|−−→ P B|

p(1−x)²+ 0²+ 3² =p

(−x)² + 2²+ 1² 1−2x+x²+ 9 =x²+ 4 + 1

−2x=−5 x= 2.5

3

(4)

−→AB=





−1 2 2





−→AC =



 1 4 1



 α= arccos

−→AB·−→

AC

|−→

AB| · |−→

AC| = arccos 9 3·√

18 = arccos 3 3·√

2

= arccos 1

√2 = arccos

√2 2 = 45^◦ Vektorgeometrie 8

Zwischenwinkelformel: cosϕ= ~u·~v

|~u| · |~v|

cos 60^◦ = 2

√x² + 4 + 0·√

0 + 1 + 1 1

2 = 2

√x² + 4·√ 2 1

4 = 4

2(x²+ 4) || ·4(x²+ 4) x²+ 4 = 8

x² = 4 x1 = 2 x₂ =−2

Vektorgeometrie 9

−→P A·−−→ P B = 0



 2−x

0 1



·



 0−x

1 0



= 0 (2−x)(−x) = 0 (2−x)x= 0

x₁ = 0 ⇒ P₁(0,0,0) x2 = 2 ⇒ P2(2,0,0)

(5)

Vektorgeometrie 10

~

p ~a

~b

~n

~

p=k~a und ~n =~b−~p=~b−k~a

~a·~n = 0 da~a⊥~n

~a· ~b−k~a) = 0

~a·~b−k~a·~a = 0 k = ~a·~b

~a·~a = 2·4 + 1·6 + 4·7 2·2 + 1·1 + 4·4 = 42

21 = 2

~ p= 2·



 2 1 4



=



 4 2 8





Vektorgeometrie 11

Um ein Mass, wie stark sich zwei Dokumente unterscheiden.

d₁ d₂

die 1 1

maus 1 0

ist 1 1

klein 1 0 welt 0 1 gross 0 1

^(d₁, d₂) = arccos 1·1 + 1·1

√1 + 1 + 1 + 1·√

1 + 1 + 1 + 1

= arccos1 2 = 60^◦

5

(6)



 4 2 5



×



 0 2 1



=





−8

−4 8



= 4





−2

−1 2









−2

−1 2





=√

4 + 1 + 4 = 3 ⇒ ~c=±



 6 3

−6





Vektorgeometrie 13

−→AB=



 4 3 7





−→AC =



 2 1 6





−→AB×−→

AC =



 11

−10

−2



 F_ABC = ¹₂ ·√

11²+ 10²+ 2² = ¹₂ ·15 = 7.5 Vektorgeometrie 14

x y x_iy_i+1−x_i+1y_i

3 3 −6

2 0 6

7 3 2

4 2 10

3 4 2

1 2 −3

3 3 —

Summe: 11

Inhalt: 5.5

Vektorgeometrie 15

A(2 : 5 : 1) B(−4 : 3 : 1)



 2 5 1



×





−4 3 1



=



 2

−6 26



= 2



 1

−3 13





g:



 1

−3 13



·



 x y 1



=x−3y+ 13 = 0

(7)

Vektorgeometrie 16



 4 6 5



×



 1 2 1



=





−4 1 2



 ⇒ S₁(−4 : 1 : 2) =S₁(−2,0.5)



 4 6 5



×



 6 9 4



=





−21 14

0



 ⇒ S₂(−21 : 14 : 0) Fernpunkt

⇒ g₁ kg₃

Vektorgeometrie 17

Ein Spat ist ein K¨orper (genauer: ein Prisma), der von 6 paarweise kongruenten Paralle- logrammen begrenzt wird.

−→AB×−→

AC

·−−→ AD=



 0 6

−6



·



 7 1 3



=−12 ⇒ V = 12

7

(8)

(a) ~a×~b=



 3 4 4



×



 0 1 1



=



 0

−3 3



6=~0 linear unabh¨angig (nicht kollinear) (b) (~a×~b)·~c



 0

−3 3



×



 3 2 2



= 0−6 + 6 = 0 linear abh¨angig (komplanar)

Potenzen 1

Eine Exponentialgleichung

Weil die Unbekannte x im Exponenten steht.

4·2^x+ 32 = 4^x 4·2^x+ 32 = (2^x)² Substitution: 2^x =a

4a+ 32 =a²

0 = a²−4a−32 0 = (a+ 4)(a−8)

a₁ =−4 = 2^x ⇒keine L¨osung a2 = 8 = 2^x ⇒x= 3

Potenzen 2 (a) =

1 8

1/3

= 2⁻³1/3

= 2⁻¹ = 1/2

(b) = (2⁴)^−3/4 = 2⁻³ = 1/8 (c) =a¹²⁹ : a¹²⁸ :a¹²¹²

=a¹²⁹⁻¹²⁸⁺¹²¹² =a¹³¹² Potenzen 3

(a) 9^1.5 = 3²³₂

= 3³ = 27∈N wahr (b) π¹⁰⁰ < 3²50

falsch, da π ≈3.1415>3 (c)

6 3+ 2

3 0.5

= 4^0.5· 2

3 0.5

80.5

=

4· 20.5

=

80.5

wahr

(9)

Logarithmen 1

Eine Logarithmusgleichung

log₂(2x−11)−log₂(x−4) = log₂(x−6) log₂ 2x−11

x−4 = log₂(x−6) 2x−11

x−4 =x−6

2x−11 = (x−6)(x−4) 2x−11 =x²−10x+ 24

0 =x²−12x+ 35 0 = (x−7)(x−5) x1 = 7 Probe: L¨osung x₂ = 5 Probe: keine L¨osung

9

(10)

eine Exponentialgleichung (Variable im Exponenten) 2^4x+ 2^4x+3= 36

2^4x+ 2^4x·2³ = 36 Potenzgesetze 2^4x(1 + 8) = 36 Faktorisieren

9·2^4x= 36

2^4x= 4 gleiche Basen erzwingen 2^4x= 2² Exponenten vergleichen

4x= 2 x= 1/2 Logarithmen 3

x^lg^x = 10⁴ Gleichung logarithmieren lgx^lg^x = lg 10⁴ Logarithmengesetze lgx·lgx= 4

(lgx)² = 4

lgx₁ = 2 ⇒ x₁ = 10² = 100 (Probe: OK) lgx2 =−2 ⇒ x2 = 10⁻² = 0.01 (Probe: OK) Logarithmen 4

log^√₃52

·log₅9·log^√₅3

=

lg 5 lg√ 3

2

· lg 9 lg 5· lg 3

lg√ 5

= lg 5·lg 5 lg√

3·lg√

3· lg 9 lg 5 · lg 3

lg√ 5

= lg 5·lg 5

1

2lg 3· ¹₂lg 3· 2 lg 3 lg 5 · lg 3

1 2lg 5

= 2

1

2 · ¹₂ · ¹₂ = 16

(11)

Logarithmen 5 2 = 1·(1 + 0.01)ⁿ 2 = 1.01ⁿ

lg 2 = lg 1.01ⁿ lg 2 =n·lg 1.01

n = lg 2

lg 1.01 = 0.3010 0.0043

lg(0.3010 : 0.0043) = lg(10⁻¹·3.01)−lg(10⁻³·4.3)

= 2 + 0.4786−0.6335 = 1 + 0.8451

= lg(10¹·7.00) = lg(70) Also dauert es etwa 70 Jahre.

Logarithmen 6 N(t) = N(0)·10^−kt eine Zerfallsgleichung

0.5 = 1·10^−k·23.5 lg 0.5 =−23.5·k·lg 10

−lg 2 =−23.5·k k = 0.3010

23.5

lg(0.3010 : 23.5) = lg(10⁻¹·3.01)−lg(10¹ ·2.35)

=−1 + 0.4786−1−0.3711

=−2 + 0.1075

= lg(10⁻²·1.28) = lg(0.0128

| {z }

k

)

Folgen und Reihen 1 Der Beginn einer Folge Um eine arithmetische Folge.

Weil die Differenz aufeinanderfolgender Glieder konstant ist. (oder: F¨ur n ≥ 2 ist jedes Folgeglied das arithmetische Mittel seiner Nachbarglieder.)

a_n = 3 + (n−1)·4 = 4n−1 Summenformel der AF:

s_n = n

2 ·(a₁+a_n)

= 200

2 ·(3 + [4·200−1])

= 100·802 = 80 200

11

(12)

Der Beginn einer Folge Um eine geometrische Folge.

Weil der Quotient aufeinanderfolgender Glieder konstant 2 ist. (oder: F¨urn ≥2 ist jedes Folgeglied das geometrische Mittel seiner Nachbarglieder.)

a_n = 3·2ⁿ⁻¹

Summenformel der AF:

s₁₀₀ =a₁· q¹⁰⁰−1

q−1 = 3· 2¹⁰⁰−1 2−1

= 3· 2¹⁰⁰−1

≈3·2¹⁰⁰ lg 2¹⁰⁰= 100·lg 2 = 100·0.3010

= 30.1 = 30 + 0.1 = lg(10³⁰·1.26) s₁₀₀ ≈3.78·10³⁰

Folgen und Reihen 3

Die rekursive Definition einer arithmetischen Folge.

a_n = 1 + (n−1)·3 = 3n−2 s_n= n

2(a₁+a_n) s100 = 100

2 (1 + 3·100−2) s₁₀₀ = 50(300−1)

s100 = 50·300−50·1 s₁₀₀ = 15 000−50 s₁₀₀ = 14 950

(13)

Folgen und Reihen 4

(a)

100

X

k=1

k = 1 + 2 +· · ·+ 99 + 100 = 100

2 (1 + 100) = 5050 (b)

∞

X

k=1

10^−k = 10⁻¹+ 10⁻²+ 10⁻³+. . .

= 0.1 + 0.01 + 0.001 +. . .

= 0.111. . .= 1/9 (c)

100

Y

k=1

(k−50) = (1−50)·(2−50)·. . .·(100−50) = 0

Folgen und Reihen 5 a41=a1+ (n−1)·d 100 = 20 + (41−1)·d

80 = 40·d d= 2 sn = n

2(a1 +an) s₄₁ = 41

2(20 + 100) = 41·60 = 2460 Folgen und Reihen 6

sn= n

2(a1+an) s_n= n

2 a₁+a₁+ (n−1)d 2s_n=n 2a₁+ (n−1)d 840 = 21(2a1+ 20·3)

40 = 2a+ 60

−20 = 2a a=−10

a_n =a₁ + (n−1)d a₂₁ =−10 + (21−1)·3 a₂₁ =−10 + 60

a₂₁ = 50

13

(14)

s_n=a₁+a₂+. . .+an−1+a_n s_n=a_n+an−1+. . .+a₂+a₁ 2s_n=n(a₁+a_n) Begr¨undung!

s_n= n

2(a₁+a_n) oder:

s_n=a₁+ [a₁+d] +. . .+ [a₁+ (n−2)d] + [a₁+ (n−1)d]

s_n= [a₁+ (n−1)d] +a₁+ (n−2)d+. . .+ [a₁+d] +a₁ 2sn=n

2a1+ (n−1)d

Begr¨undung!

s_n=na₁+n 2

(n−1)d

Folgen und Reihen 8 a_n =a₁ ·qⁿ⁻¹

96 = 3·q⁶⁻¹ 32 =q⁵

q = 2

s_n =a₁·qⁿ−1 q−1 s₆ = 3· 2⁶−1

2−1 s6 = 3·64 s₆ = 192

(15)

Folgen und Reihen 9 s_n=a₁· qⁿ−1

q−1 364 = 3· 3ⁿ−1

3−1 2·364 = 3(3ⁿ−1) 2·121 = 3ⁿ−1

243 = 3ⁿ n= 5 a_n =a₁ ·qⁿ⁻¹ a₅ = 1·3⁴ a₅ = 81

Folgen und Reihen 10

Die Streckenl¨angen bilden eine GF mita1 = 16 und q= ¹₂ Summenformel der nichtabbrechenden GF:

s∞ =a₁· 1

1−q = 16· 1

1− ¹₂ = 16·2 = 32

Die Streckenl¨angen in x-Richtung bilden eine GF mit a₁ = 16 und q=−¹₄. Summenformel der nichtabbrechenden GF:

s∞ =a₁· 1

1−q = 16· 1

1 + ¹₄ = 16·4 3 = 64

3

15

(16)

s= 9²+ 3·3²+ 3·3·1²+. . .

= 81 + 27 + 9 +. . .

Die Summe der Inhalte der Quadrate mit gleicher Seitenl¨ange bilden eine GF mit dem Startwert a1 = 81 und dem Faktor q= ¹₃.

s= 81· 1

1−1/3 = 81· 1

2/3 = 81· 3

2 = 243

2 = 121.5 cm² Folgen und Reihen 12

s_n=a₁+a₁q+. . .+a₁qⁿ⁻¹

qsn= a1q+. . .+a1qⁿ⁻¹+a1qⁿ s_n−qs_n=a₁−a₁qⁿ

s_n(1−q) =a₁(1−qⁿ) s_n= 1−qⁿ

1−q = qⁿ−1 q−1