1. Vertauschen einer Zeile mit einer anderen.

Gauß-Algorithmus

Unter Zeilenoperationen einer Matrix verstehen wir die drei folgenden Operationen:

1. Vertauschen einer Zeile mit einer anderen.

2. Multiplizieren einer Zeile mit einem Faktor ungleich null.

3. Addieren des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen.

Satz 1 Sei (A | b) die erweiterte Koeffizientenmatrix des Linearen Gleichungssystems Ax = b mit A ∈ M (m × n, R) und b ∈ R ^m . Dann gilt:

1. Entsteht ( ˜ A | ˜ b) aus (A | b) durch Zeilenumformungen, so gilt L¨ os(A, b) =L¨ os( ˜ A, ˜ b).

Die beiden Linearen Gleichungssysteme haben also die gleichen L¨ osungen.

2. Die erweiterte Koeffizientenmatrix kann mit Zeilenumformungen auf folgende Zei- lenstufenform gebracht werden





























0 . . . 0 c 1 ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ d 1

0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 c 2 ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ d 2

0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 c ₃ ∗ . . . . . . . . . ∗ d ₃

.. . .. . .. . . .. .. . .. .

0 . . . . . . . . . 0 . . . . . . 0 . . . . . . . . . . . . 0 c _l ∗ . . . ∗ d _l

0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 d l+1

.. . .. . .. .

0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 d m





























wobei die erste Zeile mit k ₀ Nullen beginnt, die zweite mit k ₀ + k ₁ + 1 u.s.w., also allgemein die i-te Zeile mit k 0 + k 1 + . . . + k i−1 + i − 1 Nullen f¨ ur i = 1, . . . , l + 1.

Die Eintr¨ age ∗ stehen hier f¨ ur reelle Zahlen (die nicht ¨ ubereinstimmen m¨ ussen), die sich aus dem Linearen Gleichungssystem ergeben. Weiter gilt

• c ₁ , . . . , c _l 6= 0

• P l

i=0 k _i + l = n

• Die Zahlen l bzw. k 0 , . . . , k l h¨ angen nur von der Ausgangsmatrix ab, wobei l der (Zeilen)-Rang von A heißt.

• Es gilt l ≤ min{m, n}

• Ist l < m und existiert ein j ∈ {l + 1, . . . , m} mit d j 6= 0, so existiert keine L¨ osung.

• Gilt d _j = 0 f¨ ur alle j ∈ {l + 1, . . . , m}, so gilt L¨ os(A, b) 6= ∅, genauer:

• Ist zus¨ atzlich l = n, so gibt es genau eine L¨ osung.

• Ist zus¨ atzlich l < n, so gibt es unendlich viele L¨ osungen.

• Die L¨ osungsmenge kann wie folgt bestimmt werden: die letzten k _l Variablen x n , . . . , x n−k

+1 k¨ onnen frei gew¨ ahlt werden. Damit kann x n−k

aus der Glei- chung

c _l · x n−k

+ ∗ · x n−k

+1 + . . . + ∗ · x _n = d _l

bestimmt werden. Die n¨ achsten k _l−1 Variablen x _n−k

₋₁ , . . . , x _n−k

_−k

k¨ onnen wieder frei gew¨ ahlt werden. Nun kann man damit x n−k

−k

−1 bestimmen.

Dieses Verfahren setzt man fort, so dass man eine L¨ osungsmenge erh¨ alt, die

von n − l freien Variablen abh¨ angt.