Die Determinante einer n × n-Matrix A l¨ asst sich nach einer beliebigen Zeile oder Spalte entwickeln:

Entwicklung von Determinanten

Die Determinante einer n × n-Matrix A l¨ asst sich nach einer beliebigen Zeile oder Spalte entwickeln:

det A = P n

k=1 (−1) ^{j +k} a _j,k det ˜ A _j,k (Entwicklung nach Zeile j )

= P n

j=1 (−1) ^j+k a _j,k det ˜ A _j,k (Entwicklung nach Spalte k) , wobei ˜ A j,k die Matrix bezeichnet, die durch Streichen der j -ten Zeile und k -ten Spalte von A entsteht,

A :









a1,1 · · · a_1,k · · · a1,n

.. .

.. .

.. .

a_j,1 · · · a_j,k · · · a_j,n

.. .

.. .

.. .

a_n,1 · · · a_n,k · · · a_n,n









, A ˜ _j,k :







a_1,1 .. .

..

. a_1,n

· · · a_j−1,k−1 a_j−1,k+1 · · ·

· · · a_j+1,k−1 a_j+1,k+1 · · ·

a_n,1 .. .

..

. a_n,n





 .

Durch wiederholte Anwendung der Prozedur kann die Dimension der Determinanten sukzessive reduziert werden.

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Beweis

det A = det A ^t Entwicklung nach einer Spalte

Darstellung der k-ten Spalte als Linearkombination von Einheitsvektoren, a _k =

n

X

j =1

a _{j ,k} e _j ,

und Multilinearit¨ at der Determinante = ⇒ det A =

n

X

j =1

a _j,k det (a ₁ , . . . , a _k −1 , e _j , a _{k +1} , . . . , a _n )

| {z }

=B

n − k Spaltenvertauschungen und n − j Zeilenvertauschungen 1 von e _j in rechter unterer Ecke:

det B _j = (−1) ^n−k (−1) ^n−j

| {z }

(−1)

det











0

A ˜ _{j ,k} .. .

0 a j,1 · · · a j,k−1 a _j,k+1 · · · a j ,n 1











Entwicklung nach Permutationen nichttriviale Beitr¨ age nur von Permutationen p mit p(n) = n, d.h. (p(1), . . . , p(n − 1)) ∈ S n−1 und

det











0

A ˜ j ,k .. .

0 a _{j ,1} · · · a j,k−1 a _j,k+1 · · · a _j,n 1











= det ˜ A i,j

angegebene Entwicklungsformel

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Beispiel

Entwicklung der Determinante

d =

1 3 0 4 2 0 0 3 0 6 1 5 0 0 2 9

Entwicklung nach der zweiten Zeile (−1) ²⁺¹ · 2

3 0 4 6 1 5 0 2 9

+ 0 + 0 + (−1) ²⁺⁴ · 3

1 3 0 0 6 1 0 0 2

Entwicklung der ersten Determinante nach der ersten Spalte

(−1) ¹⁺¹ · 3

1 5 2 9

+ (−1) ²⁺¹ · 6

0 4 2 9

= −3 + 48 = 45 Determinante der Dreiecksmatrix: 1 · 6 · 2 = 12

insgesamt: d = −2 · 45 + 3 · 12 = −54

Beispiel

Ebene durch die Punkte

P _k = (x _k , y _k , z _k ), k = 1, 2, 3 Ebenengleichung in Determinantenform

E :

x y z 1

x 1 y 1 z 1 1 x ₂ y ₂ z ₂ 1 x ₃ y ₃ z ₃ 1

= 0

Entwicklung nach der ersten Zeile

E : ax + by + cz = d mit

a =

y₁ z₁ 1 y₂ z₂ 1 y₃ z₃ 1

, b = −

x₁ z₁ 1 x₂ z₂ 1 x₃ z₃ 1

, c =

x₁ y₁ 1 x₂ y₂ 1 x₃ y₃ 1

, d =

x₁ y₁ z₁ x₂ y₂ z₂ x₃ y₃ z₃

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Vandermonde-Determinante

Die Determinante der an n Punkten x j ausgewerteten Monome 1, x, . . . x ⁿ⁻¹ ist

1 x 1 . . . x ₁ ⁿ⁻¹

1 x 2 . . . x ₂ ⁿ⁻¹

.. . .. . .. .

1 x _n . . . x _n ⁿ⁻¹

= Y

j >k

(x _j − x _k ) .

Beweis Induktion (i) n = 2:

det

1 x 1

1 x 2

= x 2 − x 1

(ii) (n − 1) → n:

Subtraktion der ersten Zeile von allen weiteren Zeilen

1 x 1 . . . x ₁ ⁿ⁻¹

1 x 2 . . . x ₂ ⁿ⁻¹

.. . .. . .. .

1 x _n . . . x _n ⁿ⁻¹

=

1 x 1 . . . x ₁ ⁿ⁻¹

0 x 2 − x 1 . . . x ₂ ⁿ⁻¹ − x ₁ ⁿ⁻¹

.. . .. . .. .

0 x n − x 1 . . . x _n ⁿ⁻¹ − x ₁ ⁿ⁻¹ Entwicklung nach der ersten Spalte

x 2 − x 1 . . . x ₂ ⁿ⁻¹ − x ₁ ⁿ⁻¹

.. . .. .

x n − x 1 . . . x _n ⁿ⁻¹ − x ₁ ⁿ⁻¹

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Herausziehen des Faktors x k − x 1 aus der k-ten Zeile

n

Y

k =2

(x _k − x 1 )

!

1 x ₂ + x ₁ x ₂ ² + x ₂ x ₁ + x ₁ ² . . .

n−2

P

i=0

x ₂ ⁿ⁻²⁻ⁱ x ₁ ⁱ 1 x 3 + x 1 x ₃ ² + x 3 x 1 + x ₁ ² . . .

n−2

P

i=0

x ₃ ⁿ⁻²⁻ⁱ x ₁ ⁱ

.. . .. . .. . .. .

1 x n − x 1 x _n ² + x n x 1 + x ₁ ² . . .

n−2

P

i=0

x _n ⁿ⁻²⁻ⁱ x ₁ ⁱ Subtraktion des x 1 -fachen der vorhergehenden Spalte von jeder Spalte

n

Y

k =2

(x _k − x ₁ )

!

1 x 2 . . . x ₂ ⁿ⁻²

1 x 3 . . . x ₃ ⁿ⁻²

.. . .. . .. .

1 x _n . . . x _n ⁿ⁻²

Induktionsvoraussetzung = ⇒ | · · · | = Q

j>k≥2 (x j − x k )