Bestimme die L¨osungsmenge der folgenden Gleichung: x3−6x+ 4 = 0 Zeige auch, dass die Formel von Cardano eine reelle L¨osung liefert

Algebra-Aufgaben: Komplexe Zahlen 1

1. Diskutiere die folgenden Gleichungen vollst¨andig:

(a) 2x+ 6 =p(p−1)−px (b) q²x−q= 1−x(q+ 1)

2. L¨ose die folgende Gleichung inN,Z,Q,R,C: (z+ 5)(z²−5)(z²+ 5) = 0

3. Wo liegt der Fehler:

−1 =i²=√

−1√

−1 =p

(−1)(−1) =√ 1 = 1

4. Beweise: −1 +i√ 3 2

!3

= 1

5. Verifiziere miti²=−1 die Gleichung von Leibniz:

q 1 +√

−3 + q

1−√

−3 =√ 6

6. Bestimme die L¨osungsmenge der folgenden Gleichung:

x³−6x+ 4 = 0

Zeige auch, dass die Formel von Cardano eine reelle L¨osung liefert.

(Verwende f¨ur die Umformungen: (1 +i) + (1−i) = 2.)

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7. Bestimme die L¨osungsmenge der folgenden Gleichung:

x³+x²+x=−1

(a) Bestimme die L¨osungsmenge in dem du mitpr¨obelnan die Aufgabe herangehst.

(b) Bestimme die L¨osungsmenge unter Verwendung der Formel von Car- dano.

8. Bestimme die L¨osungsmengen der folgenden Gleichungen:

(a) 4x²+ 8x+ 5 = 0 L={−1±¹₂i}

(b) x³−4x²+ 6x= 0 L={0,2±√ 2i}

(c) x⁴+ 5x²+ 4 = 0 L={±i,±2i}

(d) x⁵−2x⁴+ 2x³= 0 L={0,1±i}

(e) x³−7x²+ 15x= 25 L={5,1±2i}

(f) 4x⁶+ 21x⁴+ 21x²+ 4 = 0 L={±i,±2i,±¹₂i}

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