Brückenkurs III

Dr. Mario Helm

Wintersemester 2019/20

Brückenkurs III

Blatt 3

Übungsmaterial

(sollte mit Aufgaben aus Tutorium, Übungen und Musterklausuren kombiniert werden)

1. Mittels Trennung der Variablen bestimme man die Lösungen der folgenden Anfangswertprobleme.

(a)y⁰ =−ty²sint, y(0) = ¹₂ (b)y⁰=−ty²sin(t²), y(0) = 1 (c) y⁰− xy

2 +x² = 0, y(√

2) =−4 (d)y⁰− y

1 +x² = 0, y(1) = 1

2. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung folgender linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten sowie ggf. die Lösung des Anfangswertproblems. Verwenden Sie passende Störgliedan- sätze.

(a)y⁰⁰−4y⁰−5y= 2e^t (b)y⁰⁰+ 2y⁰+ 5y= cos(3t)

(c) y⁰⁰+ 6y⁰+ 34y= 0, y(0) = 2, y⁰(0) = 0 (d)y⁰⁰+ 4y = 2 sin(2t)

(e) y⁰⁰−4y⁰+ 4y= 2e^2t

3. Nur für die Ingenieure: Weisen Sie bei folgenden Differentialgleichungen nach, dass sie exakt sind.

Bestimmen Sie dann die allgemeine Lösung der Differentialgleichung bzw. die Lösung des Anfangs- wertproblems.

(a)3x²y²dx+ (2x³y+ 1)dy= 0 (b)5x⁴y²+ (2x⁵y−1)y⁰= 0

(c) y²sinx−(2ycosx)y⁰= 0, y(0) = 1

4. Nur für die Ingenieure: Bilden die Funktionen ein Fundamentalsystem von Lösungen der angegebe- nen linearen Differentialgleichung? Prüfen Sie die Lösungseigenschaft und entscheiden Sie mit Hilfe der Wronski-Determinante.

(a)4xy⁰⁰+ 2y⁰= 0, y1(x) = 1, y2(x) =√ x (b)x²y⁰⁰+ 4xy⁰+ 2y= 0, y1(x) = 1

x, y2(x) =x (c) x²y⁰⁰+ 4xy⁰+ 2y= 0, y1(x) = 1

x, y2(x) = 1 x²

5. Nur für die Ingenieure: Notieren Sie die Anfangswertprobleme als Systeme erster Ordnung mit entsprechender Anfangsbedingung.

(a)y⁰⁰+e^ty⁰−y= 2, y(0) = 1, y⁰(0) = 0

(b)y⁰⁰⁰+ 2y⁰⁰+ 4y= 2e^−4t, y(0) = 0, y⁰(0) = 1, y⁰⁰(0) = 0 6. Nur für die Ingenieure: Die MatrixA = 5 −8

−1 3

hat die Eigenwerteλ₁ = 1 undλ₂ = 7 mit den zugehörigen Eigenvektoren~v1= [2,1]^T und~v1= [−4,1]^T (vgl. Blatt 1, Aufgabe 3a). Wie lautet die allgemeine Lösung des Differentialgleichungssystems

~ y⁰(t) =

5 −8

−1 3

~ y(t)?

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Hausaufgaben

1. Erstellen Sie ein eigenes Kompendium zum Thema Gewöhnliche Differentialgleichungen (maximal eine Seite).

2. Rechnen Sie so viele Aufgaben zum Thema wie möglich und nötig. Arbeiten Sie wieder mit dem bekannten Punktesystem zur effizienten Nutzung der Arbeitszeit.

3. Rufen Sie sich so oft wie möglich die Inhalte des Kompendiums ins Gedächtnis. Lernen Sie sie nach und nach auswendig!

4. Schauen Sie sich vorbereitend für das nächste Treffen je ein Beispiel zur Berechnung von Bogenlänge und Arbeitsintegral (mit und ohne Potential/Stammfunktion) an.

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