Fakult¨at f¨ur Mathematik
Prof. Dr. B. Hofmann 5. Januar 2017
H¨ohere Mathematik I (f¨ur MB)
12. ¨Ubung : Grenzwerte
12.1 Berechnen Sie die Grenzwerte der Zahlenfolgen, falls diese existieren.
(a) lim
n→∞
n2 +n−1
√5n4 −20n3 + 3 (b) lim
n→∞
sinn−cos3n
√n+ 2 (c) lim
n→∞
a np+ 1
(−1)nb nq−1, p, q ∈ N, a, b∈ R, ab 6= 0
12.2 Es sei {xn} ⊆ R eine Nullfolge (xn 6= 0) und a 6= 0 . Berechnen Sie lim
n→∞
1
a+xn − 1a xn .
12.3 Die Zahlenfolge {xn} wird erzeugt nach der Vorschrift
xn+1 = g(xn) mit g(x) = 2x(1−x), n ≥ 1, x1 = q ∈ (0,0.5). Zeigen Sie, dass die Folge monoton ist und beschr¨ankt,
n¨amlich 0 ≤xn ≤ 12 . Berechnen Sie den Grenzwert der Folge.
12.4 F¨ur welche x ∈ R ist f nicht definiert ?
Bestimmen Sie die Grenzwerte von f f¨ur jede dieser Stellen.
Geben Sie die Asymptoten von f an.
(a) f(x) = x2 +x−2
(x−1)(x+ 1)2(x+ 2) (b) f(x) = x3 −7x+ 6
x2 −4x+ 3 (c) f(x) = x3 −x2 −x+ 1
x2
12.5 Berechnen Sie die Grenzwerte, indem Sie umformen und bekannte Grenzwerte nutzen.
(a) lim
x→1
1−√ x
x−1 (b) lim
x→0
sin2 x2
x2 (c) lim
x→∞
1 + 1 3x
x
12.6 Bestimmen Sie c ∈ R so, dass die Funktion
f(x) = exp(−|x|−12), x 6= 0, f(x) = c , x = 0 stetig auf R ist.
Geben Sie die Asymptote von f an.
Aufgaben und L¨osungen im Web : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit
