Fakult¨at f¨ur Mathematik
Dr. U. Streit 9. Juli 2019
Laplace - Transformation : Rechenregeln
Im weiteren sind u(t) die Heaviside-Funktion undδ(t) die Diracsche Delta-Funktion.
Originalbereich Bildbereich
f(t) : [0,∞)→R F(s) = R∞
0 e−stf(t) dt
mit |f(t)| ≤M eαt, M >0, α∈R F(s) :{s∈C: Res > α} →C Originalfunktion: f(t), f1(t), f2(t) Bildfunktion: F(s), F1(s), F2(s) :
F =L(f), Fi =L(fi), i= 1,2 Linearkombination
a f1(t) +b f2(t), a, b∈C a F1(s) +b F2(s) Ahnlichkeit¨
f(a t), a >0 1aF sa
Verschiebung
f(t−a)u(t−a), a ≥0 e−asF(s)
ebtf(t), b∈C F(s−b)
Faltung
(f1∗f2)(t) :=Rt
0f1(t−τ)f2(τ) dτ F1(s)·F2(s) Differentiation
f′(t) s F(s)−f(0 + 0)
t f(t) −F ′(s)
Integration Rt
0f(τ) dτ 1sF(s)
t−1f(t) R∞
s F(z) dz
1
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Dr. U. Streit 9. Juli 2019
Laplace - Transformation : Korrespondenzen
f(t) F(s)
u(t) 1
s
tn−1, n∈N (n−1) ! sn
√1 t
√π
√s
tα, α >−1 Γ(α+ 1) sα+1
eat 1
s−a 1
t − eat
t ln s−a
s e−14t2 √
π(1−erfs)es2
δ(t) 1
f(t) F(s)
sinat a
s2+a2
cosat s
s2+a2
sinhat a
s2−a2
coshat s
s2−a2 sinat−atcosat
2a3
1 (s2+a2)2 tsinat
2a
s (s2+a2)2 1−cosat
a2
1 s(s2+a2) at−sinat
a3
1 s2(s2 +a2)
2
