Fakult¨at f¨ur Mathematik
Dr. U. Streit 18. Dezember 2018
H¨ohere Mathematik I (f¨ur MB)
12. ¨Ubung : Grenzwerte
12.1 Berechnen Sie den Grenzwert der Zahlenfolge {xn}. (a) xn = n2 +n−1
√5n4 −20n3 + 3 (b) xn = sinn−cos3n
√n+ 2 (c) xn = a np+ 1
(−1)nb nq−1, p, q ∈ N, a, b ∈ R, ab 6= 0
12.2 Gegeben sind eine Zahl a 6= 0 und eine Nullfolge {xn} mit xn 6= 0.
Berechnen Sie den Grenzwert der Folge {yn} mit yn =
1 a+xn−1a
xn . 12.3 Eine Zahlenfolge {xn} wird erzeugt nach der Vorschrift
xn+1 = g(xn), n ≥ 1, x1 = q
mit g(x) = 2x(1−x) und 0 < q < 12 . Zeigen Sie, dass die Folge monoton und beschr¨ankt ist, n¨amlich 0 ≤ xn ≤ 12 .
Welchen Grenzwert hat die Folge ?
Zusatz. Was ¨andert sich bei q ≤ 0 bzw. q ≥ 12 ? 12.4 F¨ur welche x ∈ R ist f nicht definiert ?
Bestimmen Sie die Grenzwerte von f f¨ur jede dieser Stellen.
Geben Sie die Asymptoten von f an.
(a) f(x) = x2 +x−2
(x−1)(x+ 1)2(x+ 2) (b) f(x) = x3 −7x+ 6 x2 −4x+ 3 (c) f(x) = x3 −x2−x+ 1
x2
12.5 Berechnen Sie, indem Sie umformen und bekannte Grenzwerte nutzen.
(a) lim
x→1
1−√ x
x−1 (b) lim
x→∞
1 + 1 3x
x
12.6 Bestimmen Sie c ∈ R so, dass die Funktion f(x) = exp(−|x|−12), x 6= 0, f(0) = c stetig auf R ist.
Hat f eine Asymptote ?
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