12. ¨ Ubung zur Mathematik f¨ ur Informatiker I

Universit¨at des Saarlandes Prof. Dr. Joachim Weickert Fakult¨at f¨ur Mathematik und Informatik Dr. Bernhard Burgeth

Wintersemester 2003/2004 Dr. Martin Welk

12. ¨ Ubung zur Mathematik f¨ ur Informatiker I

Anmerkung:Bei allen Aufgaben muss der Rechenweg klar erkennbar sein ! Numerische Berechnungen sind mit Taschenrechnergenauigkeit auszuf¨uhren

Aufgabe 1: (3 Punkte) Zeigen Sie, dass gilt:

n→∞lim 1

n+ 1 + 1

n+ 2 +. . .+ 1 2n

= ln 2.

Aufgabe 2: (2+3 Punkte) Berechnen Sie die Integrale

a)

1

Z

0

x^p(1−x)^qdx b)

+∞

Z

−∞

1 1 +x⁴ dx wobei p, q ∈IN.

Aufgabe 3: (2+2+3 Punkte)

Beweisen Sie die Konvergenz der Integrale a)

+∞

Z

0

sin(x²)dx b)

1

Z

0

1 xsin1

xdx.

c) Beweisen Sie die Konvergenz und die Gleichheit der Integrale

+∞

Z

0

cos(x²)dx und 1 2

+∞

Z

0

sin(x²) x² dx .

Aufgabe 4: (2+3 Punkte)

Berechnen Sie n¨aherungsweise den Wert des Integrals

√π

Z

0

sin(x²)dx

a) mit Hilfe der Trapezregel,

b) durch Romberg-Quadratur der Fehlerordnung 8.

Abgabetermin: Freitag, 30. 01. 2004 vor der Vorlesung