Prof. Dr. Daniel Plaumann Sommersemester 2017
ÜBUNGEN ZUR ALGEBRA II
Blatt 7
Abgabe bis Freitag, den 16. Juni
In den folgenden Aufgaben sei stetsRein kommutativer Ring (mit Eins).
25. SeiMeinR-Modul mit UntermodulnN,N. WennM/NundM/Nbeide noethersch (bzw. artinsch) sind, dann ist auchM/(N∩N)noethersch (bzw. artinsch).
26. Es seiMeinR-Modul. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(1) Mist noethersch.
(2) Jede nicht-leere Menge von endlich erzeugten Untermoduln von Mbesitzt ein maximales Element.
(3) Gegeben eine Folge x,x,x,⋯von Elementen in M, dann gibt es ein n ∈ N derart, dass für jedesk >neine Darstellung
xk= ∑
n
i=aixi mit a, . . . ,an ∈R existiert.
27. Betrachte die abelsche Gruppe(Q/Z,+). Fürx ∈Qschreibex =x+Z. Fixiere eine Primzahl pund betrachte die Untergruppe
G = {x ∈Q/Z∣ord(x) =pr für einr∈N} = {x ∈Q/Z∣x = a
pr füra∈Zundr∈N}.
(a) Zeigen Sie: Für jedesn∈NbesitztGgenau eine UntergruppeGnder Ordnung pn, und dies sind alle echten Untergruppen vonG.
(b) Die abelsche GruppeGist alsZ-Modul artinsch aber nicht noethersch.
28. EinR-ModulPheißtprojektiv, wenn jede exakte Sequenz
→NÐ→φ MÐ→ψ P→ spaltet. Zeigen Sie:
(a) Jeder freie Modul ist projektiv.
(b) Ein endlich erzeugter ModulPist genau dann projektiv, wenn es einn∈Nund UntermodulnQ,Q′vonRn gibt mitRn =Q⊕Q′undQ′≅P.
Bemerkung:Es gibt projektive Moduln, die nicht frei sind. Über manchen Ringen ist aber jeder projektive Modul frei. Ein berühmter Satz von Quillen und Suslin (1976) sagt, dass jeder endlich erzeugte projektive Modul über einem Polynomring frei ist.
