Prof. Dr. Daniel Plaumann Sommersemester 2017
ÜBUNGEN ZUR ALGEBRA II
Blatt 10
Abgabe am Donnerstag, dem 6. Juli in der Vorlesung
Sei immerRein kommutativer Ring mit Eins.
37. Sei M ⊂ R ein maximales Ideal. Zeigen Sie, dassR/Mi für jedes i ∈ Nein lokaler Ring ist.
38. Es sei R ein Integritätsring. Für jedes Primideal P fassen wir RP als Teilring von Quot(R)auf. Beweisen Sie die Gleichheit
R = ⋂
maximales IdealM⊂R
RM.
39. Es seiMeinR-Modul. Zeigen Sie:
(a) Fürx ∈M giltx = genau dann, wenn x = inMQfür alle maximalen Ideale QvonRgilt.
(b) Genau dann ist M = {}, wenn MQ = {}für alle maximalen IdealeQ vonR gilt.
(c) Es seiφ∶M → N ein Homomorphismus vonR-Moduln. Genau dann istφin- jektiv (bzw. surjektiv), wennφQ∶MQ →NQfür alle maximalen IdealeQvonR injektiv (bzw. surjektiv ist).
40. Für jedenR-ModulMsetze
Supp(M) = {P⊂R∣Pist Primideal mitMP≠}.
Zeigen Sie: Ist
→M′→M→M′′→
eine exakte Sequenz vonR-Moduln, so gilt Supp(M) =Supp(M′) ∪Supp(M′′).
