Übungen zur Algebra I
- Unbewertetes Zusatzblatt -
Prof. Dr. K. Wingberg WS 2008/2009
J. Bartels nicht abzugeben
http://www.mathi.uni-heidelberg.de/˜bartels/Vorlesung
1 . Aufgabe (6 Punkte):
Sei Geine endliche Gruppe und1 ≤e∈Ndie kleinste Zahl, so daÿ ge= 1für jedes g ∈Ggilt.
Zeigen Sie, daÿeein Teiler der Ordnung|G|von Gist und daÿ jede Primzahl p, welche |G|teilt, aucheteilt. Geben Sie eine Gruppe an, für diee <|G|gilt.
2 . Aufgabe (6 Punkte):
SeiGeine endliche Gruppe undg∈Gein Element der Ordnung|< g >|=pr,peine Primzahl, r≥1. Zeigen Sie, daÿ die Anzahl der Elemente der OrdnungprinGein Vielfaches vonpr−1(p−1) ist. Geben Sie eine Gruppe der Ordnung 12 an, die 6 Elemente der Ordnung 4 enthält.
3 . Aufgabe (6 Punkte):
SeiFq ein endlicher Körper mitqElementen. Seipirgendeine Primzahl. Bestimmen Sie die Anzahl der irreduziblen Polynome vom Gradp2 überFq.
4 . Aufgabe (6 Punkte):
SeiL/Keine galoissche Erweiterung mit GaloisgruppeG. Sei|G|= 85. Zeigen Sie, daÿLTeilkörper vom Grad 5 und vom Grad 17 überK enthält, die normal überK sind.
5 . Aufgabe (6 Punkte) (Sympathiepunkte):
Bringen Sie Ihrer Übungsgruppe in der ersten Stunde nach Weihnachten selbstgebackene Plätzchen oder Kuchen mit!
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± ♥
⇑⇑
> ♦ <
◦ ∇ φ ∞
⇑ ⊕ x⇑
>Θ<
∫ ./
∪ δ
⇑ ⊗ ⇑
> ∩ c <R
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