Prof. Dr. Daniel Plaumann Sommersemester 2017
ÜBUNGEN ZUR ALGEBRA II
Blatt 12
Abgabe am Donnerstag, dem 20. Juli in der Vorlesung
45. Es seiA⊂Beine ganze Erweiterung von Integritätsringen. Zeigen Sie: Genau dann istAein Körper, wennBein Körper ist.
46. Beweisen Sie Lemma 9.18: Es sei Rein Ring,AeineR-Algebra, und sei S ⊂R eine multiplikative Teilmenge. IstA′⊂Ader ganze Abschluss vonRinA, dann istA′
Sder ganze Abschluss vonRSinAS.
47. SeiRein Ring. Finden Sie Isomorphismen für folgende Polynomringe:
(a) R[x] ⊗R[x] ≅R[x,y](alsR-Algebren).
(b) IstR⊂Leine Ringerweiterung, dann giltR[x] ⊗RL≅L[x].
48. Es sei R ein lokaler Ring mit maximalem Ideal P. Zeigen Sie, dass jeder endliche projektiveR-Modul frei ist (siehe dazu Aufgabe 28), wie folgt:
(a) Sei Mein endlicher projektiverR-Modul undx, . . . ,xn ein minimales Erzeu- gendensystem vonM. SeiF =Rn undφ∶F → M die Abbildungei ↦ xi. Dann giltF =M′⊕Ker(φ)für einen UntermodulM′vonF.
(b) Es gilt Ker(φ) ⊂PF =Pn.
(c) Daraus folgtPKer(φ) =Ker(φ)und damit Ker(φ) = ⟨⟩.
Bemerkung:Die Aussage stimmt auch für nicht endlich erzeugte projektive Moduln, aber der Beweis ist deutlich schwieriger.
