Prof. Dr. Daniel Plaumann Sommersemester 2017
ÜBUNGEN ZUR ALGEBRA II
Blatt 11
Abgabe am Donnerstag, dem 13. Juli in der Vorlesung
Sei immerRein kommutativer Ring mit Eins.
41. Es seiAeineR-Algebra. Zeigen Sie: Ist Aganz überRundr ∈Reine Einheit inA, dann istrbereits eine Einheit inR.
42. Beweisen Sie die folgende Variante von Prop. 9.7 aus der Vorlesung: Es seiI ⊂R[t] ein Ideal undA=R[t]/I. Schreibex =t+Ifür die Restklasse vontinS. Fürn∈N sind äquivalent:
(i) Die Elemente ,x,x, . . . ,xn−sind eineR-Basis vonA.
(ii) DerR-ModulAist frei vom Rangn(alsoA≅Rn)
(iii) Das IdealIwird von einem normierten Polynom vom Gradnerzeugt.
43. Es seiRein faktorieller Ring mit QuotientenkörperKund seiK⊂Leine Körperer- weiterung. Zeigen Sie: Genau dann ist x ∈ Lganz über R, wenn das (normierte) Minimalpolynom vonxüberKKoeffizienten inRhat.
(Hinweis:Verwenden Sie das Gaußsche Lemma.)
Bemerkung: Diese Aussage stimmt auch, wenn R lediglich ganz abgeschlossen ist (aber nicht ganz ohne Voraussetzung anR).
44. Es seien AundBzweiR-Algebren. Zeigen Sie:
(a) Sindx, . . . ,xn ∈Aund istxi ganz überR[x, . . . ,xi−]füri=, . . . ,n, dann ist R[x, . . . ,xn]ein endlicherR-Modul.
(b) IstA⊂B,Aganz überRundBganz überA, dann istBganz überR.
