Prof. Dr. Daniel Plaumann Sommersemester 2017
ÜBUNGEN ZUR ALGEBRA II
Blatt 3
Abgabe am 18. Mai in der Vorlesung
9. Zeigen Sie, dass das Auswahlaxiom zur folgenden Aussage äquivalent ist: Zu je- der surjektiven Abbildung f∶A→ Bzwischen zwei Mengen gibt es eine Abbildung g∶B→Amit f ○g=idB.
10. Beweisen Sie Satz 3.3 aus der Vorlesung: In einem kommutativen Ring R ist jedes Ideal außer dem trivialen IdealRin einem maximalen Ideal enthalten.
11. Es seiKein unendlicher Körper und f ∈K[x, . . . ,xn]ein Polynom. Zeigen Sie:
(a) Ist f ≠, dann gibt esa∈Knmit f(a) ≠.
(b) IstKalgebraisch abgeschlossen und f ∉K∗, dann gibt esa∈Knmit f(a) =.
(Vorschlag:Induktion nachn)
12. Es seiKein Körper undn∈N,n⩾. Finden Sie im PolynomringK[x, . . . ,xn]für jedesd⩾ ein irreduzibles Polynom vom Gradd. (Hinweis:Es genügt, den Falln= zu betrachten.)
![− 5] (wie in Aufgabe 3 von Blatt 6). Zeigen Sie, daß das Ideal (2, 1 + √](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)