Prof. Dr. Daniel Plaumann Sommersemester 2017
ÜBUNGEN ZUR ALGEBRA II
Blatt 5
Abgabe am Donnerstag, dem 1. Juni, in der Vorlesung
17. Es seiKein unendlicher Körper. Beweisen Sie die folgende Dichtheitsaussage:
Sind f,g,h ∈ K[x, . . . ,xn], h ≠ und gilt f(a, . . . ,an) = g(a, . . . ,an)für alle a∈Kn mith(a, . . . ,an) ≠, so folgt f =g.
(Zusatz:Vervollständigen Sie damit den Beweis von Satz 4.9(4).)
18. Zeigen Sie:
(a) Für f =x+ax+bx+cist
D(f) = ab−b−ac−c+abc.
(b) Für f =ax+bx+cist
Res(f, f′) = ac(ac−b).
19. Es sei Rein Integritätsring. Zeigen Sie für Diskriminante und Resultante von Poly- nomen f,g∈R[x]die Gleichheit
D(f g) =D(f)D(g)Res(f,g).
20. Zeigen Sie, dass die Resultante Res(f,g)als Polynom in den Koeffizienten von f undgmit Koeffzienten inZirreduzibel ist. (Hinweis:Verwenden Sie Satz 4.9(4).)
