Prof. Dr. Daniel Plaumann Sommersemester 2017
ÜBUNGEN ZUR ALGEBRA II
Blatt 1
Abgabe am 4. Mai in der Vorlesung
1. Es seiCeine Kategorie. SeienX,Y,Z∈Ob(C )undf ∈Hom(X,Y),g∈Hom(Y,Z).
Zeigen Sie:
(a) Ist f ein Isomorphismus, dann ist f−eindeutig bestimmt.
(b) Sind f undgIsomorphismen, dann auchg○ f und es gilt(g○ f)−= f−○g−. (c) Wenng○ f ein Isomorphismus ist, sind dann auch f odergIsomorphismen?
2. Für eine GruppeG bezeichneZ(G)ihr Zentrum. Geben Sie ein Beispiel für einen Gruppenhomomorphismus f∶G → Gmit f(Z(G)) ⊄ Z(G). (Das Zentrum ist nicht funktoriell.)
3. Eininitiales Objekt in einer KategorieC ist ein C-ObjektI derart, dass Hom(I,X) für jedesC-ObjektXgenau einen Pfeil enthält.
Einfinales ObjektinCist einC-ObjektF derart, dass Hom(X,F)für jedesC-Objekt Xgenau einen Pfeil enthält.
(a) Je zwei initiale ObjekteIundI′inCsind isomorph. (Das Entsprechende gilt für finale Objekte.)
(b) Die Kategorie der Gruppen besitzt ein Objekt, das zugleich initial und final ist.
(c) Gibt es initiale oder finale Objekte in der Kategorie aller nichtleeren Mengen?
4. SeiCdie Kategorie, in der die Objekte Paare(G,g)aus einer GruppeG und einem Element g∈Gsind und die Pfeile f∶ (G,g) → (G′,g′)Gruppenhomomorphismen
f∶G →G′mit f(g) =g′. Finden Sie ein initiales Objekt inC.
