Prof. Dr. Daniel Plaumann Sommersemester 2017
ÜBUNGEN ZUR ALGEBRA II
Blatt 2
Abgabe am 11. Mai in der Vorlesung
5. Es sei Aeine abelsche Gruppe und HA∶Ab → Ab,X ↦ Hom(A,X)der durch A bestimmte kovariante Hom-Funktor. Seien X,Y abelsche Gruppen und f∶X → Y ein injektiver (bzw. surjektiver) Homomorphismus. Ist
HAf∶Hom(A,X) →Hom(A,Y) dann ebenfalls injektiv (bzw. surjektiv)?
Geben Sie für die beiden Aussagen jeweils einen Beweis oder ein Gegenbeispiel.
(Vorschlag: Betrachten Sie die (additiven) GruppenZundZ/.)
6. Es seiGeine Gruppe, die von zwei Elementenaundbmit den Relationen a=b = (ab)=
erzeugt wird. Zeigen Sie, dassGzur symmetrischen GruppeSisomorph ist.
7. Es seiGeine Gruppe,Teine Teilmenge und
TG = {gx g−∣x ∈T,g∈G}.
Zeigen Sie:
(a) Die vonTG erzeugte Untergruppe⟨TG⟩ist ein Normalteiler vonG.
(b) ⟨TG⟩ist der Durchschnitt aller Normalteiler vonG, dieTenthalten.
8. Beweisen Sie, dass jede endliche Gruppe endlich präsentiert ist.
