Prof. Dr. Daniel Plaumann Sommersemester 2017
ÜBUNGEN ZUR ALGEBRA II
Blatt 9
Abgabe am Donnerstag, dem 29. Juni in der Vorlesung
33. (a) Es seienK,K,KKörper undR=K×K×K. Bestimmen Sie die Idealstruktur vonRund verifizieren Sie so, dassRartinsch und jedes Primideal maximal ist.
(b) Es sei K ein Körper und f ∈ K[x], f ≠ . Zeigen Sie, dass der Faktorring K[x]/⟨f⟩artinsch ist.
34. (Struktursatz für Artinsche Ringe) Es seiRein artinscher Ring und seienM, . . . ,Mk
die maximalen Ideale vonR. Zeigen Sie: Es gibtn, . . . ,nk∈Nmit
R≅
k
∏
i=
R/Mini.
Dies zeigt, dass jeder artinsche Ring ein endliches direktes Produkt von lokalen ar- tinschen Ringen ist. (Hinweise:Zeigen SieMnii +Mnjj =Rfüri ≠ jund verwenden Sie den verallgemeinerten chinesischen Restsatz (Algebra I, Satz 2.6.16))
35. Beweisen Sie Prop. 8.1 aus der Vorlesung:
SeiRein kommutativer Ring undS ⊂Reine multiplikative Teilmenge. Die Relation
∼aufR×Sgegeben durch
(a,s) ∼ (a,s) ⇐⇒ ∃t∈S∶t(as−as) =
ist eine Äquivalenzrelation. Wir schreiben as für die Äquivalenzklasse von(a,s)und RSfür die Menge aller Äquivalenzklassen. Mit den üblichen Rechenregeln
a s ⋅ b
t = ab
st und a
s +b
t = at+bs st wirdRSzu einem kommutativen Ring mit Eins und Null .
36. Sei R ein kommutativer Ring, S ⊂ R eine multiplikative Teilmenge undI ⊂ Rein Ideal. Zeigen Sie, dass es eine natürliche Isomorphie
RS/IS≅ (R/I)S
gibt (wobeiSdie Menge aller Restklassen von Elementen ausS inR/Ibezeichnet).
