Zeigen Sie, dass die von U erzeugte Untergruppe ein Normalteiler vonGist

Prof. Dr. M. Rapoport WS 2007/08 Dr. E. Viehmann

Gruppen, Ringe, Moduln 2. ¨Ubungsblatt

Aufgabe 1:

Sei Geine Gruppe.

a) SeiU⊂Geine Teilmenge, so dassgug⁻¹∈U f¨ur alleg∈G,u∈U. Zeigen Sie, dass die von U erzeugte Untergruppe ein Normalteiler vonGist.

Nun sei speziellU ={ghg⁻¹h⁻¹; g, h∈G}. Die vonU erzeugte UntergruppeG⁰:=hUiheißt die Kommutatoruntergruppe von G. Beweisen Sie die folgenden Aussagen ¨uberG⁰.

b) G⁰ ist ein Normalteiler vonG.

c) G/G⁰ ist abelsch.

d) Ist N ein Normalteiler vonG, so istG/N genau dann abelsch, wennN ⊃G⁰.

Aufgabe 2:

SeienB bzw.U die folgenden Teilmengen vonG:=GLn(R),n≥2.

B:={(aij)∈G; aij = 0 f¨uri > j}

U :={(aij)∈B ; aii= 1, 1≤i≤n}

a) Zeigen Sie, dassB bzw.U zusammen mit der Matrizenmultiplikation Untergruppen vonG sind. Zeigen Sie ferner, dassU ein Normalteiler vonB ist.

b) Beweisen Sie, dassB/U∼= (R^×)ⁿ.

c) SindU bzw.B Normalteiler vonG? (Begr¨undung)

d) Zeigen Sie, dassGf¨urn≥2 kein Normalteiler vonGLn(C) ist.

Aufgabe 3:

Sei Geine Gruppe. Die folgende Teilmenge heißt das Zentrum vonG:

Z(G) :={g∈G; gh=hg ∀h∈G}.

a) Zeigen Sie, dassZ(G) ein abelscher Normalteiler inGist.

b) Berechnen Sie die Zentren vonU, B, Gaus Aufgabe 2.

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Aufgabe 4:

Sei Geine Gruppe.

a) Zeigen Sie, dass jede Untergruppe vom Index 2 ein Normalteiler vonGist.

b) Zeigen Sie, dass die Aussage aus Teil a) f¨ur Untergruppen vom Index 3 falsch ist.

c) SeienN, M Normalteiler vonG, mitN ∩M={e}. Zeigen Sie, dass f¨ur allem∈M,n∈N die Gleichungmn=nmgilt.

d) Sei H eine Untergruppe vonG, f¨ur die die Implikation Ha6=Hb=⇒aH 6=bH f¨ur allea, b∈Ggilt. IstH ein Normalteiler vonG?

Abgabe: Montag, 29. Oktober 2007.

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