zuletzt aktualisiert am 14. September 2017

Differentialgleichungen

Jochen Merker Sommersemester 2011

zuletzt aktualisiert am 14. September 2017

Inhaltsverzeichnis

1 Elementare L¨ osungsmethoden und allgemeine Existenzs¨ atze 7

1.1 L¨ osungen gew¨ ohnlicher Differentialgleichungen . . . . 7

1.2 Elementar l¨ osbare Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . 11

1.3 Elementar l¨ osbare Differentialgleichungen 2. Ordnung . . . 20

1.4 Der Existenz- & Eindeutigkeitssatz v. Picard-Lindel¨ of . . . 26

1.5 Allgemeinere Existenz- und Eindeutigkeitsresultate . . . 31

1.6 Stetige Abh¨ angigkeit . . . 38

1.7 Differenzierbare Abh¨ angigkeit . . . 41

2 Lineare Differentialgleichungen 45 2.1 Lineare Systeme . . . 45

2.2 Lineare Differentialgleichungen h¨ oherer Ordnung . . . 48

2.3 Die Reduktionsmethode von d’Alembert . . . 49

2.4 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . . . 51

3 Qualitative Theorie 59 3.1 Grundlegende Begriffe . . . 59

3.2 Lineare Fl¨ usse . . . 61

3.3 Linearisierung nichtlinearer Fl¨ usse . . . 68

3.4 Lyapunov-Funktionen . . . 70

4 Rand- und Eigenwertprobleme 79 4.1 Sturm-Liouvillesche Randwertprobleme . . . 79

4.2 Sturm-Liouvillesche Eigenwertprobleme . . . 83

5 Elementare L¨ osungsmethoden f¨ ur partielle Differentialgleichungen 85 5.1 Die Laplace-Gleichung . . . 85

5.2 Die Diffusionsgleichung . . . 88

5.3 Die Wellengleichung . . . 93

Sporadisches Sachwortverzeichnis 99

Einleitung

In der Vorlesung

” Differentialgleichungen“ werden wir uns mit Methoden besch¨ aftigen, die es erlauben, gew¨ ohnliche Differentialgleichungen explizit zu l¨ osen oder zumindest die Existenz von L¨ osungen zu beweisen. Dar¨ uberhinaus werden wir Eigenschaften von L¨ osungen wie deren Ein- deutigkeit, stetige Abh¨ angigkeit oder qualitatives Verhalten diskutieren. Abgeschlossen wird die Vorlesung durch ein kurzes Kapitel ¨ uber elementare Methoden zur Ermittlung von L¨ osungen spe- zieller partieller Differentialgleichungen.

Dieser Text ist dazu gedacht, Ihnen einen kurzen ¨ Uberblick ¨ uber die in der Vorlesung behandelten Themen zu geben. Dar¨ uberhinaus sind f¨ ur interessierte und sehr begabte Studenten auch immer mal wieder weiterf¨ uhrende Literaturtipps angegeben. Lassen Sie sich aber nicht entmutigen, wenn Sie dort einen Blick hineinwerfen und nichts verstehen, das verlangt auch keiner von Ihnen.

Falls Sie Fragen, Anregungen oder W¨ unsche haben, sprechen Sie mich einfach an.

Viel Vergn¨ ugen und viel Erfolg beim Studium von Differentialgleichungen !

Kapitel 1

Elementare L¨ osungsmethoden und allgemeine Existenzs¨ atze

In diesem Kapitel wird es darum gehen, einerseits spezielle Differentialgleichungen explizit zu l¨ osen (was nicht ganz so hilfreich ist, wie es auf den ersten Blick erscheint, denn tats¨ achlich gibt es f¨ ur die meisten interessanten Differentialgleichungen keine expliziten L¨ osungsmethoden) und andererseits S¨ atze zu beweisen, die die L¨ osbarkeit von allgemeinen Differentialgleichungen garantieren (was allein auch nicht sehr hilfreich ist, denn dadurch weiß man noch lange nicht, wie sich L¨ osungen verhalten). Dar¨ uberhinaus werden wir uns fragen, inwieweit die L¨ osungen einer Differentialglei- chung eindeutig sind oder stetig/differenzierbar von den gegebenen Daten abh¨ angen.

1.1 L¨ osungen gew¨ ohnlicher Differentialgleichungen

Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass Sie mit den grundlegenden Begriffen der Differen- tialrechnung f¨ ur Funktionen einer reellen Variablen vertraut sind, wie sie z.B. in [K¨ onigsberger]

entwickelt werden. Insbesondere sollte Ihnen bekannt sein, dass eine Abbildung x : I → R

auf einem Intervall I ⊂ R eine (parametrisierte) Kurve im R

genannt wird und differenzierbar in t ∈ I heißt, falls der Grenzwert

x

(t) := lim

h→0

x(t + h) − x(t) h

existiert, den man die (erste) Ableitung von x in t nennt (oder auch den Tangentialvektor an x zum Zeitpunkt t), siehe [K¨ onigsberger, 12.1]. Ist x in jedem Punkt t ∈ I differenzierbar und die Ableitung x

: I → R

stetig, dann nennt man x stetig differenzierbar oder eine C

-Kurve.

Rekursiv definiert man analog die m-te Ableitung x

und C

-Kurven.

Gew¨ ohnliche Differentialgleichungen sind nun Gleichungen, die nicht nur von den Werten sondern auch von den Ableitungen einer auf einem Intervall I ⊂ R definierten Funktion x : I → R (im Fall n = 1) bzw. einer Kurve x : I → R

abh¨ angen.

Definition 1.1. Ist Ω ⊂ R × ( R

)

und f : Ω → R

, so heißt die Gleichung

x

= f (t, x, x

, . . . , x

) (1.1) eine (explizite

) n-dimensionale Differentialgleichung m-ter Ordnung.

1Noch allgemeiner als explizite Differentialgleichungen sind Differentialgleichungen von der Form f˜(t, x, x⁰, . . . , x^(m−1), x^(m)) = 0. Solche Differentialgleichungen werden implizit genannt und lassen sich nur dann in (1.1) umschreiben, wenn man nachx^(m) aufl¨osen kann. Wir werden uns in dieser Vorlesung nahezu ausschließlich mit expliziten Differentialgleichungen besch¨aftigen.

Man nennt (1.1) h¨ aufig auch ein n-dimensionales System von Differentialgleichungen m-ter Ord- nung. Aufgrund des Vorkommens von Ableitung in (1.1) muss man nat¨ urlich pr¨ azise sagen, was man unter einer L¨ osung von (1.1) verstehen will.

Definition 1.2. Eine Kurve x : I → R

heißt eine (klassische) L¨ osung der Differentialgleichung (1.1), falls x eine m-mal differenzierbare Kurve mit (t, x(t), x

(t), . . . , x

(t)) ∈ Ω und x

(t) = f (t, x(t), x

(t), . . . , x

(t)) f¨ ur alle t ∈ I ist.

Ist f : Ω → R

stetig und x eine klassische L¨ osung der Differentialgleichung (1.1), dann ist offen- sichtlich x nicht nur m-mal differenzierbar, sondern sogar eine C

-Kurve, da die rechte Seite von (1.1) stetig in t ist. Dies ist ein erster Hinweis darauf, dass klassische L¨ osungen von Differential- gleichungen oft viel regul¨ arer sind als in Definition 1.2 gefordert wird.

Definition 1.1 ist recht allgemein, da an f ¨ uberhaupt keine Anforderungen gestellt werden. Stellt man an f gewisse Bedingungen, dann benennt man auch den zugeh¨ origen Typ von Differential- gleichungen entsprechend.

Definition 1.3. • Ist die Funktion f auf der rechten Seite von (1.1) unabh¨ angig von t, so spricht man von einer autonomen Differentialgleichung.

• Ist Ω = I × ( R

)

mit einem Intervall I ⊂ R und (y

, . . . , y

) 7→ f(t, y

, . . . , y

) f¨ ur jedes t ∈ I linear, dann nennt man (1.1) eine (homogene) lineare Differentialgleichung.

Als erstes Resultat wollen wir nun zeigen, dass man jede Differentialgleichung h¨ oherer Ordnung in eine ¨ aquivalente Differentialgleichung erster Ordnung umschreiben kann (die daf¨ ur aber eine h¨ ohere Dimension als die urspr¨ ungliche Differentialgleichung hat).

Satz 1.4. Zu einer durch f : Ω ⊂ R × ( R

)

→ R

gegebenen Differentialgleichung m-ter Ordnung definiere man f ˜ : Ω → ( R

)

durch

f ˜ (t, y

, y

, . . . , y

) := (y

, y

, . . . , y

, f (t, y

, . . . , y

)) .

Dann ist x genau dann eine L¨ osung von x

= f(t, x, x

, . . . , x

), wenn die durch y(t) :=

(x(t), x

(t), . . . , x

(t)) definierte Kurve im ( R

)

eine L¨ osung von y

= ˜ f(t, y) ist.

Beweis: Ist x eine L¨ osung von x

= f (t, x, x

, . . . , x

), dann ist y einmal differenzierbar und es gilt

y

= x

= y

y

= x

= y

.. .

y

= x

= f (t, x, x

, . . . , x

) = f(t, y

, y

, . . . , y

) also l¨ ost y die DGL y

= ˜ f(t, y).

Ist umgekehrt y eine L¨ osung von y

= ˜ f(t, y), dann hat die erste Komponente x := y

von y gerade y

als (k − 1)-te Ableitung f¨ ur k = 2, . . . , m, denn y

= y

gilt aufgrund der Definition der ersten m − 1 Komponenten von ˜ f. Insbesondere ist x

= y

differenzierbar und erf¨ ullt aufgrund der Definition der letzten Komponente von ˜ f die Differentialgleichung

x

= y

= f (t, y

, y

, . . . , y

) = f (t, x, x

, . . . , x

) .

2

Aufgrund von Satz (1.4) reicht es also aus, Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung zu

betrachten, und diesen Spezialfall von Definition (1.1) wollen wir noch einmal festhalten.

Definition 1.5. Ist Ω ⊂ R × R

und f : Ω → R

, so heißt die Gleichung

x

= f (t, x) (1.2)

eine (explizite) n-dimensionale Differentialgleichung erster Ordnung oder auch ein n-dimensionales System von Differentialgleichungen erster Ordnung.

Die Abbildung f in (1.2) bezeichnet man auch als zeitabh¨ angiges Vektorfeld auf R

. Tats¨ achlich gibt f(t, x) gerade den Tangentialvektor an, den eine L¨ osungskurve haben soll, wenn sie zum Zeitpunkt t durch den Punkt x l¨ auft.

Aufgabe 1.6. Zeigen Sie, dass autonome und nichtautonome Differentialgleichungen im folgenden Sinne ¨ aquivalent sind: Definiert man zu f : Ω ⊂ R × R

→ R

das zeitunabh¨ angige Vektorfeld f ˜ (t, x) := (1, f(t, x)) auf Ω ⊂ R

, dann ist x genau dann eine L¨ osung von x

= f (t, x) mit x(t

) = x

, wenn y(s) := (s + t

, x(s + t

)) eine L¨ osung von y

= ˜ f(y) mit y(0) = (t

, x

) ist. Es reicht also aus, autonome Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung zu betrachten.

Im Allgemeinen hat eine Differentialgleichung sehr viele verschiedene L¨ osungen, jedoch kann man hoffen, dass die L¨ osung einer Differentialgleichung erster Ordnung eindeutig ist, wenn man sich zus¨ atzlich zur Differentialgleichung noch einen Anfangswert vorgibt.

Definition 1.7. Man sagt, eine Kurve x l¨ ost die Differentialgleichung (1.2) zum Anfangswert x

bei t

, wenn x eine L¨ osung von (1.2) ist und zus¨ atzlich x(t

) = x

gilt.

Beispiel 1.8. Zu vorgegebenem λ ∈ R hat die Differentialgleichung erster Ordnung x

= λx die L¨ osungen x(t) = Ce

mit einer beliebigen Konstanten C ∈ R (wie man durch Einsetzen in die Differentialgleichung leicht nachpr¨ ufen kann). Dies sind tats¨ achlich alle m¨ oglichen L¨ osungen der Differentialgleichung x

= λx, denn l¨ ost x diese DGL, dann gilt auch x

(t)e

= λx(t)e

und daher

(xe

)

(t) = x

(t)e

− λx(t)e

= 0 .

Also ist die Funktion t 7→ x(t)e

konstant, d.h. x(t) = Ce

gilt mit einer Konstanten C ∈ R . Nun wird die Konstante C aber durch die Anfangsbedingung x(t

) = x

eindeutig festgelegt, denn aus dieser Bedingung ergibt sich C = x

e

. Somit gibt es genau eine L¨ osung der Differential- gleichung x

= λx zum Anfangswert x

bei t

, n¨ amlich x(t) = x

e

Leider gibt es Differentialgleichungen mit stetiger rechter Seite f, deren L¨ osung durch eine An- fangsbedingung nicht eindeutig festgelegt wird.

Beispiel 1.9. Die autonome Differentialgleichung erster Ordnung x

= p

|x| hat die L¨ osungen x(t) =

auf dem Intervall [−C, ∞) (wie man wiederum durch Einsetzen in die Differential- gleichung leicht nachpr¨ ufen kann). Daher ist x(t) :=

auf dem Intervall [0, ∞) eine L¨ osung zum Anfangswert x

= 0 bei t = 0, aber auch die konstante L¨ osung x(t) := 0 ˜ ist offensichtlich eine L¨ osung zum Anfangswert x

= 0 bei t = 0.

Ein anderes Problem ist, dass sich L¨ osungen von Differentialgleichungen selbst bei ¨ uberall definier- ter und glatter rechter Seite f : R × R

→ R

im Allgemeinen nicht auf ganz R fortsetzen lassen, d.h. zu einem Anfangswert muss es nicht unbedingt eine auf ganz R definierte L¨ osung x geben.

Man nennt eine L¨ osung x einer Differentialgleichung global, falls sie auf ganz R definiert ist.

Beispiel 1.10. Die autonome Differentialgleichung x

= x

hat zum Anfangswert x

bei t = 0 die L¨ osung x(t) =

0

. Diese L¨ osung ist sogar eindeutig, denn ist x eine L¨ osung mit x(t) 6= 0, dann gilt

1 + tx(t) x(t)

= (1 + tx(t))x

(t) − x(t)(x(t) + tx

(t))

(x(t))

= 0 .

Jedoch l¨ a sst sich x bei x

> 0 nicht auf ein gr¨ oßeres Intervall als (−∞,

0

) fortsetzen, da lim

t%_x¹

0

x(t) = +∞ gilt, und ¨ ahnlich f¨ ur x

< 0. Daher gibt es zu keinem Anfangswert x

6= 0 eine globale L¨ osung.

Treten bei einer autonomen Differentialgleichung diese beiden unsch¨ onen Situationen aber nicht auf, d.h. existieren f¨ ur eine autonome Differentialgleichung erster Ordnung eindeutige globale L¨ osungen, dann ist der L¨ osungsoperator der Differentialgleichung ein Fluss, wie wir in Satz 1.13 zeigen werden.

Definition 1.11. Eine Abbildung Φ : R × Ω → Ω heißt Fluss auf der Menge Ω, falls Φ(0, ·) = Id

und Φ(s, Φ(t, x)) = Φ(s + t, x) f¨ ur alle s, t ∈ R und x ∈ Ω gilt.

Insbesondere gilt f¨ ur einen Fluss Φ die Gleichung Φ(−t, Φ(t, x)) = x f¨ ur alle t ∈ R und x ∈ Ω, d.h.

Ω 3 x 7→ Φ(t, x) ∈ Ω hat y 7→ Φ(−t, y) als inverse Abbildung, und aufgrund der G¨ ultigkeit von Φ(s, Φ(t, x)) = Φ(s + t, x) ist t 7→ Φ(t, ·) ein Gruppenhomomorphismus von der abelschen Gruppe ( R , +) in die Halbgruppe (Abb(Ω, Ω), ◦) aller Abbildungen von Ω in sich mit der Komposition ◦ als Verkn¨ upfung.

Modellieren die Punkte von Ω den Zustand eines Systems (z.B. eines physikalischen oder biologi- schen Systems), so dr¨ ucken die Eigenschaften, die ein Fluss erf¨ ullt, gerade aus, dass die zeitliche Entwicklung des Systems deterministisch ist: Die gesamte zuk¨ unftige Entwicklung t 7→ Φ(t, x) des Systems ist eindeutig durch den aktuellen Zustand x ∈ Ω bestimmt und unterliegt somit keinerlei zuf¨ alligem Einfluss.

Um zu beweisen, dass der L¨ osungsoperator einer autonomen Differentialgleichungen ein Fluss ist, ist die folgende Eigenschaft wesentlich, die im Allgemeinen nur f¨ ur autonome Differentialgleichun- gen gilt.

Lemma 1.12. Ist x L¨ osung einer autonomen Differentialgleichung x

= f(x), dann ist f¨ ur jedes t ∈ R auch s 7→ x(s + t) eine L¨ osung der Differentialgleichung.

Beweis: Es gilt

(x(s + t)) = x

(s + t) = f(x(s + t)). 2 Satz 1.13. Besitzt die autonome Differentialgleichung erster Ordnung x

= f (x) mit der auf der Teilmenge Ω ⊂ R

definierten rechten Seite f : Ω → R

zu jedem Anfangswert x

∈ Ω bei t = 0 eine eindeutige globale L¨ osung und bezeichnet man diese mit t 7→ Φ(t, x

), so ist Φ ein Fluss.

Beweis: Offensichtlich gilt aufgrund der Anfangsbedingung Φ(0, x) = x f¨ ur alle x ∈ Ω, und da zu

gegebenem t ∈ R und x ∈ Ω sowohl s 7→ Φ(s, Φ(t, x)) als auch (nach Lemma 1.12) s 7→ Φ(t + s, x)

L¨ osungen zum Anfangswert Φ(t, x) bei s = 0 sind, m¨ ussen diese aufgrund der Eindeutigkeit gleich

sein, d.h. es gilt Φ(s, Φ(t, x)) = Φ(s + t, x) f¨ ur alle s, t ∈ R und x ∈ Ω. 2

Umgekehrt kann man zu jedem Fluss Φ auf Ω ⊂ R

, f¨ ur den t 7→ Φ(t, x) f¨ ur jedes x ∈ Ω

differenzierbar ist, durch f (x) :=

(0, x) ein zeitunabh¨ angiges Vektorfeld definieren, f¨ ur das die

globale L¨ osung zum Anfangswert x

∈ Ω bei t = 0 durch t 7→ Φ(t, x

) gegeben ist. In der Tat, aufgrund von Φ(s + t, x) = Φ(s, Φ(t, x)) gilt

d

dt Φ(t, x

) = d

ds Φ(s + t, x

)|

= d

ds Φ(s, Φ(t, x

))|

= f (Φ(t, x

)) .

Bemerkung 1.14. Diese bemerkenswerte Korrespondenz zwischen Fl¨ ussen und autonomen Dif- ferentialgleichungen wird genauer und allgemeiner in der Theorie (nicht)linearer Halbgruppen stu- diert, siehe [Engel,Nagel, Barbu].

Im Folgenden wird es unser Anliegen sein, Bedingungen an die rechte Seite f einer Differentialglei- chung aufzustellen, die die (globale) Existenz und Eindeutigkeit von L¨ osungen garantieren, denn nur dann kann man Satz (1.13) anwenden. Zun¨ achst aber wollen wir f¨ ur einige spezielle Typen von Differentialgleichungen Methoden vorstellen, mit denen man diese explizit l¨ osen kann.

1.2 Elementar l¨ osbare Differentialgleichungen 1. Ordnung

1.2.1 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung

Eine (eindimensionale) lineare Differentialgleichung erster Ordnung hat die Form

x

= a(t)x + b(t) (1.3)

mit vorgegebenen Funktionen a, b : I → R auf einem Intervall I, d.h. die rechte Seite ist durch die affin-lineare Funktion f : I × R → R , f (t, x) = a(t)x+ b(t), gegeben. Im Fall b = 0 nennt man (1.3) homogen, und ist a von t unabh¨ angig, dann spricht man von einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten.

Beispiel 1.15. Bezeichnet x(t) die Menge (z.B. in Mol) eines radioaktiven Materials zum Zeit- punkt t, das mit der konstanten Rate a in andere Stoffe zerf¨ allt, dann gen¨ ugt x der homogenen linearen Differentialgleichung x

= −ax mit konstanten Koeffizienten.

Kommt aber st¨ andig neues radioaktives Material mit der Rate b(t) hinzu und kann man die Zer- fallsrate beeinflussen, so dass sie durch eine zeitabh¨ angige Funktion a(t) gegeben ist, dann gen¨ ugt x der allgemeinen linearen Differentialgleichung (1.3).

Betrachten wir zun¨ achst den homogenen Fall x

= a(t)x und setzen a als stetig voraus. Ist x auf einem t

∈ I enthaltenden offenen Intervall positiv, dann kann man dort auf beiden Seiten der Gleichung durch x teilen und erh¨ alt wegen

ln(x(t)) =

die Gleichung

d

dt ln(x(t)) = a(t) . Integration ¨ uber [t

, t] ergibt ln(x(t)) − ln(x(t

)) = R

t0

a(s) ds und daher x(t) = x

exp

Z

a(s) ds

(1.4)

bei x(t

) = x

. Tats¨ achlich ist diese Funktion – wie man einfach durch Einsetzen ¨ uberpr¨ ufen kann

– f¨ ur jede Wahl von (t

, x

) eine L¨ osung von x

= a(t)x (auch wenn sie Null oder negativ wird).

Außerdem ist sie die einzige L¨ osung der Differentialgleichung zum Anfangswert x(t

) = x

auf I, denn ist x eine L¨ osung von x

= a(t)x auf I , so kann man ¨ ahnlich wie in Beispiel 1.8 mit exp

− R

t0

a(s) ds

auf beiden Seiten multiplizieren und erh¨ alt mit der Produktregel

x(t) exp

− Z

t0

a(s) ds

= 0 . Demzufolge ist die Funktion I 3 t 7→ x(t) exp

− R

t0

a(s) ds

konstant, insbesondere gilt die Glei- chung x(t) = C exp

− R

t0

a(s) ds

mit einer Konstanten C ∈ R f¨ ur alle t ∈ I, und durch Einsetzen von t

erh¨ alt man C = x(t

).

Um auch eine L¨ osung der inhomogenen linearen Differentialgleichung (1.3) zu erhalten, suchen wir mit Hilfe eines Tricks nach L¨ osungen, den man Variation der Konstanten nennt. Wir setzen n¨ amlich einfach einmal den Ansatz x(t) := C(t) exp

R

t0

a(s) ds

mit einer noch zu bestimmenden Funktion C(·) (statt einer Konstanten, deshalb auch der Name

” Variation der Konstanten“) in (1.3) ein und erhalten mit Hilfe der Produktregel

C

(t) exp Z

t0

a(s) ds

+ a(t)x(t) = a(t)x(t) + b(t) . Der Ansatz liefert also

C

(t) = exp

− Z

t0

a(s) ds

b(t) ,

und durch Integration ergibt sich daher mit C(t

) = x

sowie der Abk¨ urzung A(t) := R

t0

a(s) ds f¨ ur die Stammfunktion von a mit A(t

) = 0 bei stetigem b

x(t) =

x

+ Z

t0

exp(−A(s))b(s) ds

exp(A(t)) (1.5)

als L¨ osung von (1.3). Wir halten dieses Ergebnis im folgenden Satz fest.

Satz 1.16 (allgemeine L¨ osung der linearen DGL erster Ordnung). Sind a, b: I → R stetige Funk- tionen auf einem Intervall I, ist t

∈ I und x

∈ R , so hat (1.3) unter der Anfangsbedingung x(t

) = x

genau eine L¨ osung x : I → R , n¨ amlich (1.5).

Man bemerke, dass dieser Satz bei I = R sogar die Existenz und Eindeutigkeit globaler L¨ osungen garantiert.

Aufgabe 1.17. Weisen Sie auch im inhomogenen Fall die Eindeutigkeit der L¨ osung von (1.3) nach.

1.2.2 Trennung der Variablen

Hat eine (eindimensionale) lineare Differentialgleichung erster Ordnung die Form

x

= g(t)h(x) (1.6)

mit vorgegebenen Funktionen g : I → R und h : J → R auf (offenen) Intervallen I, J ⊂ R , so spricht

man von einer Differentialgleichung mit getrennten Variablen. Beispielsweise ist jede autonome

Differentialgleichung x

= f(x) oder auch jede homogene lineare Differentialgleichung x

= a(t)x eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen.

F¨ ur Differentialgleichungen mit getrennten Variablen gibt es eine relativ simple Methode (die Trennung der Variablen genannt wird), mit der man das zugeh¨ orige Anfangswertproblem zum Anfangswert x(t

) = x

bei (t

, x

) ∈ I × J lokal l¨ osen kann. Sind n¨ amlich g und h stetig und ist h(x

) 6= 0 (andernfalls ist offensichtlich die konstante Funktion t 7→ x

auf I eine L¨ osung), so gibt es aufgrund der Stetigkeit von h zumindest ein offenes Intervall ˜ J ⊂ J mit x

∈ J ˜ und h(x) 6= 0 f¨ ur x ∈ J. Somit kann man die Stammfunktionen ˜

G : I → R , G(t) :=

Z

g(s) ds und H : ˜ J → R , H(x) :=

Z

1 h(y) dy

mit G(t

) = 0 und H(x

) = 0 definieren. Nun ist aber H

=

entweder auf ganz ˜ J positiv oder negativ, d.h. H ist streng monoton. Also besitzt H eine Umkehrfunktion H

: H( ˜ J ) → J, und ˜ H( ˜ J) ist ein offenes Intervall um H(x

) = 0. Aufgrund der Stetigkeit von G und G(t

) = 0 gibt es dann ein offenes Intervall ˜ I ⊂ I um t

mit G( ˜ I) ⊂ H( ˜ J). Auf diesem Intervall ˜ I definieren wir nun x(t) := H

(G(t)), d.h. x(t) erh¨ alt man durch Aufl¨ osen der Gleichung H(x(t)) = G(t). Dann gilt x(t

) = H

(G(t

)) = H

(0) = x

und nach den Differentiationsregeln

x

(t) = (H

)

(G(t)) · G

(t) = 1

H

(H

(G(t))) · G

(t) = 1

H

(x(t)) · G

(t) = h(x(t)) · g(t) aufgrund von H

=

und G

= g. Also ist x auf ˜ I eine L¨ osung von (1.6) zum Anfangswert x(t

) = x

. Wir haben somit den folgenden Satz bewiesen.

Satz 1.18. Seien g : I → R und h : J → R stetige Funktionen auf offenen Intervallen I, J ⊂ R und sei (t

, x

) ∈ I × J vorgegeben.

• Ist h(x

) = 0, dann hat (1.6) zum Anfangswert x(t

) = x

die konstante L¨ osung x(t) = x

auf ganz I.

• Ist h(x

) 6= 0, dann besitzt (1.6) zum Anfangswert x(t

) = x

auf einem hinreichend kleinen offenen Intervall I ˜ ⊂ I um t

eine L¨ osung x : ˜ I → R , und diese erh¨ alt man durch Aufl¨ osen von

Z

1

h(y) dy = Z

t0

g(s) ds (1.7)

nach x(t).

Bemerkung 1.19.

• Satz 1.18 garantiert nur die Existenz lokaler L¨ osungen des Anfangswertproblems zu (1.6), aber nicht die Existenz von globalen L¨ osungen. Tats¨ achlich m¨ ussen i.a. keine globalen L¨ osun- gen von (1.6) existieren, wie Beispiel (1.10) zeigt.

• Aus dem Beweis von Satz 1.18 kann man desweiteren ablesen, dass L¨ osungen zu Anfangs-

werten x

mit h(x

) 6= 0 zumindest auf dem gewonnenen hinreichend kleinen Intervall I ˜ ein-

deutig sind (schließlich existiert die Umkehrabbildung von H). Jedoch muss dies f¨ ur gr¨ oßere

Intervalle nicht mehr der Fall sein, wie auch Beispiel (1.9) zeigt.

• Im Nachhinein erkl¨ art Satz 1.18, warum wir im vorigen Abschnitt zur L¨ osung der linearen Differentialgleichung x

= a(t)x durch x geteilt und dann integriert haben, dort haben wir n¨ amlich gerade Trennung der Variablen benutzt.

Beispiel 1.20.

(a) Betrachtet man die Population einer Spezies (z.B. Bakterien in einer N¨ ahrl¨ osung) und sieht man die Anzahl x(t) der Individuen zur Zeit t ∈ I als kontinuierlich an (was nur bei sehr großen Populationen Sinn macht), so kann man die zeitliche Entwicklung der Population durch eine reelle Funktion x : I → R modellieren. Den Quotienten

bezeichnet man als relative ¨ Anderungsrate. Diese relative ¨ Anderungsrate modelliert man h¨ aufig durch eine allein von der Zeit t und der Populationsgr¨ oße x abh¨ angige Funktion r(t, x) (die z.B. die Differenz der Geburten- und Sterberate zur Zeit t bei Populationsgr¨ oße x angibt). In diesem Modell erf¨ ullt x also die Differentialgleichung

x

= r(t, x)x . (1.8)

(b) Das einfachste Modell (1.8) ist sicherlich durch die Wahl r(t, x) = λ mit einer Konstanten λ ∈ R gegeben, und wie wir schon aus Beispiel 1.8 wissen, haben die L¨ osungen die Form Ce

. Hier wird man nur nichtnegative Populationsgr¨ oßen zulassen, und tats¨ achlich folgt aus C > 0 auch x(t) > 0. In Abh¨ angigkeit von λ w¨ achst die Population x(t) f¨ ur t → ∞ entweder ins Unendliche (λ > 0), bleibt konstant (λ = 0) oder geht gegen Null, d.h. die Population stirbt aus (λ < 0).

(c) Ein etwas komplexeres Modell (1.8) ist durch eine lineare relative ¨ Anderungsrate r(t, x) = λ(1 −

max

) mit der maximalen Wachstumsrate λ > 0 und der maximal tragbaren Populati- onsgr¨ oße x

> 0 gegeben. ¨ Uberschreitet x die maximal tragbare Populationsgr¨ oße x

, so wird r negativ und die Population sinkt. Neben der konstanten L¨ osung 0 gibt es noch eine weitere konstante L¨ osung, n¨ amlich x = x

. Diese L¨ osung ist eine sogenannte global asym- ptotisch stabile Ruhelage, d.h. sie h¨ angt nicht von t ab und alle (positiven) L¨ osungen streben f¨ ur t → ∞ gegen x

. Tats¨ achlich, Trennung der Variablen liefert f¨ ur x

= λ(1 −

max

)x bei x(t

) = x

die Gleichung

Z

1

(y − x

)y dy = − Z

t0

λ x

ds . Mittels der Partialbruchzerlegung

max)y

=

max

y−xmax

−

ergibt sich 1

x

ln

y − x

y

|

= − λ

x

(t − t

) und somit

=

0

e

bei x

∈ (0, x

) und

=

0

e

bei x

∈ (x

, ∞). Die L¨ osung zum Anfangswert x(t

) = x

≥ 0 ist also

x(t) =



 

 

 



 

 

 



0 x

= 0

x

1 +

0

e

0 < x

< x

x

x

= x

x

1 −

0

e

x

< x

und strebt f¨ ur x

> 0 wie behauptet bei t → ∞ gegen x

.

1.2.3 Substitution

Manchmal kann man durch Substitution eine kompliziert aussehende Differentialgleichung in eine schon bekannte Differentialgleichung ¨ uberf¨ uhren. Aus einer L¨ osung dieser bekannten Gleichung erh¨ alt man dann durch R¨ ucksubstitution eine L¨ osung der urspr¨ unglichen Differentialgleichung. Wir wollen diese Methode zur L¨ osung von Differentialgleichungen anhand dreier Beispiele kennenlernen.

Lineare Substitution

Hat eine Differentialgleichung die Form

x

= f (ax + bt + c) (1.9)

mit einer Funktion f : R → R und Konstanten a, b, c ∈ R , a 6= 0, dann kann man zu einer L¨ osung x die Funktion y(t) := ax(t) + bt + c betrachten. Diese erf¨ ullt

y

(t) = ax

(t) + b = af (ax + bt + c) + b = af (y) + b ,

l¨ ost also die autonome Differentialgleichung y

= af (y)+b. Umgekehrt erh¨ alt man aus einer L¨ osung y von y

= af (y) + b durch x(t) :=

(y(t) − bt − c) aber auch eine L¨ osung der urspr¨ unglichen Differentialgleichung (1.9). Da autonome Differentialgleichungen mittels Trennung der Variablen oft leicht l¨ osbar sind, ist es uns also durch Substitution des linearen Terms ax + bt +c gelungen, die kompliziert aussehende Differentialgleichung (1.9) in eine einfach zu l¨ osende Differentialgleichung zu ¨ uberf¨ uhren.

Beispiel 1.21. Substituiert man in der Differentialgleichung x

=

den linearen Term y := −x + t, dann erh¨ alt man f¨ ur y die Differentialgleichung

y

= − 1

y

+ 1 + 1 .

Die rechte Seite ist gleich

, daher erh¨ alt man mittels Trennung der Variablen Z

y0

1 + 1 z

dz =

Z

z

+ 1 z

dz =

Z

1 ds , und daraus y(t) −

− y

+

0

= (t − t

) oder y(t)

−

y

− 1

y

+ (t − t

)

y(t) − 1 = 0 . Die L¨ osung von y

= −

+ 1 zum Anfangswert y(t

) = y

ist also

y(t) = 1 2

y

− 1

y

+ (t − t

)

± s

1 4

y

− 1

y

+ (t − t

)

+ 1 , und die L¨ osung der urspr¨ unglichen Gleichung zum Anfangswert x(t

) = x

ist

x(t) = t − 1 2

t − x

− 1 t

− x

∓ s

1 4

t − x

− 1 t

− x

+ 1 ,

wegen y

= −x

+ t

. Man bemerke, dass man aufgrund der quadratischen Abh¨ angigkeit statt

−x + t ebensogut x − t h¨ atte substituieren k¨ onnen. Außerdem hat man bei x

= t

nur scheinbar

ein Problem mit der Existenz der L¨ osung: Die L¨ osung der DGL f¨ ur y zum Anfangswert y(t

) = 0

ist die konstante L¨ osung y = 0, und zu dieser geh¨ ort die L¨ osung x = t zum Anfangswert x

= t

.

Ahnlichkeitsdifferentialgleichungen ¨

Ahnlichkeitsdifferentialgleichungen haben die Form ¨ x

= f

ax + bt + e

cx + dt + e

(1.10) mit einer invertierbaren Matrix

a b c d

und einem Vektor e ∈ R

. Im Spezialfall a b

c d

= 1 0

0 1

und e = 0

0

nennt man die Differentialgleichung (1.10) eine homogene Differentialgleichung, sie hat dann die Form

x

= f x t

. (1.11)

Diese Bezeichnung macht einerseits Sinn, denn die Steigung x

einer L¨ osung ist bei einer homoge- nen Differentialgleichung auf allen Ursprungsgeraden x = mt dieselbe. Insbesondere ist mit einer L¨ osung x auch y(t) :=

f¨ ur jedes s 6= 0 eine L¨ osung, denn

y

(t) = x

(st) = f

x(st) st

= f y(t)

t

Andererseits ist die Bezeichnung

” homogen“ ung¨ unstig gew¨ ahlt, da bereits lineare Differentialglei- chungen (1.3) bei b = 0 als homogen bezeichnet werden.

Den allgemeinen Fall einer ¨ Ahnlichkeitsdifferentialgleichung kann man durch Koordinatenwechsel immer auf den einfacheren Fall einer homogenen Differentialgleichungen zur¨ uckf¨ uhren. In der Tat, da

a b c d

invertierbar ist, hat das lineare Gleichungssystem

a b c d

x

t

= − e

e

eine ein- deutige L¨ osung (x

, t

), und in den verschobenen Koordinaten s := t − t

, y(s) := x(s + t

) − x

, lautet die Differentialgleichung

d

ds y(s) = d

ds x(s + t

) = x

(s + t

) = f

ax(s + t

) + b(s + t

) + e

cx(s + t

) + d(s + t

) + e

= f

ay(s) + bs + ax

+ bt

+ e

cy(s) + ds + cx

+ dt

+ e

LGS

= f

ay(s) + bs cy(s) + ds

= f a

+ b c

+ d

! , ist also eine homogene Differentialgleichung (wobei die neue, nur von

abh¨ angige rechte Seite von (1.11) durch ˜ f (z) = f

gegeben ist). Die homogene Differentialgleichung (1.11) kann man aber durch die Substitution y :=

l¨ osen, denn unter dieser Substitution geht sie in die Differentialgleichung

y

= f(y) − y t

¨ uber, welche man mittels Trennung der Variablen l¨ osen kann.

Beispiel 1.22. Homogene Differentialgleichungen treten insbesondere dann auf, wenn die Diffe- rentialgleichung nicht von der Wahl der Maßeinheiten abh¨ angen soll. Modelliert beispielsweise t den Preis von Benzin in Euro und x(t) die Nachfrage beim Preis t in Litern, so soll sich das durch eine Differentialgleichung gegebene Modell f¨ ur die Preis-Nachfrage-Relation bei Umrechnung des Preises in Dollar und der Nachfrage in Gallonen nicht ¨ andern. Genau dies ist bei der speziellen homogenen Differentialgleichung

x

= λ x

t

der Fall, mit x(t) ist f¨ ur a, b 6= 0 auch y(t) := ax(bt) eine L¨ osung, denn y

(t) = λabx

(bt) = λab x(bt)

bt = λ y(t) t .

Die Differentialgleichung x

= λ

ist aber sogar linear und kann leicht mittels Trennung der Variablen gel¨ ost werden, aus

ln(x(t)) − ln(x

) = Z

x0

1

y dy = λ Z

t0

1

s ds = λ(ln(t) − ln(t

)) ergibt sich x(t) = x

t t0

f¨ ur λ, t

6= 0.

Bernoulli- und Riccati-Differentialgleichungen Eine Differentialgleichung der Form

x

+ a(t)x + b(t)x

= 0 (1.12)

heißt bei p 6= 1 Bernoulli-Differentialgleichung. Die Substitution y := x

f¨ uhrt wegen y

= (1 − p)x

x

= (p − 1)x

(a(t)x + b(t)x

) = (p − 1)a(t)y + (p − 1)b(t)

auf eine lineare Differentialgleichung, die i.a. inhomogen ist und nicht-konstante Koeffizienten besitzt. Formel (1.5) erlaubt einem prinzipiell, diese lineare Differentialgleichung zu l¨ osen, und die R¨ ucksubstitution x = y

liefert daraus L¨ osungen der Bernoulli-Differentialgleichung. Man beachte, dass der geschilderte L¨ osungsweg rigoros nur f¨ ur positive L¨ osungen Sinn macht. F¨ ur negative L¨ osungen sollte man Potenzen x

als |x|

und x

bzw. y

als vorzeichenbehaftete Potenz sign(x)|x|

bzw. sign(y)|y|

interpretieren, sonst kommt es zu Uneindeutigkeiten.

Ist in einer Bernoulli-Differentialgleichung p = 2 und die rechte Seite nicht Null, sondern eine von t abh¨ angige Funktion c(t), d.h. hat die Differentialgleichung die Form

x

+ a(t)x + b(t)x

= c(t) (1.13)

dann spricht man von einer Riccati-Differentialgleichung. Solche Differentialgleichungen kann man elementar l¨ osen, falls man schon eine partikul¨ are L¨ osung x

kennt (z.B. geraten hat). Dann geht die Riccati-Differentialgleichung (1.13) durch die Substitution y = x − x

wegen

y

= x

− x

=

c(t) − a(t)x − b(t)x

−

c(t) − a(t)x

− b(t)x

= −a(t)(x − x

) − b(t)(x

− x

) = − a(t)(x − x

) − b(t)(x − x

)

(x − x

) + 2x

= −

a(t) + 2b(t)x

(t)

(x − x

) − b(t)(x − x

)

= −

a(t) + 2b(t)x

(t)

y − b(t)y

in die Bernoulli-Differentialgleichung y

+ (a(t) + 2b(t)x

(t))y + b(t)y

= 0 ¨ uber. Diese kann man wie zuvor geschildert l¨ osen und erh¨ alt durch anschließende R¨ ucksubstitution x = y + x

L¨ osungen der Riccati-Differentialgleichung.

Beispiel 1.23. Die Riccati-Differentialgleichung x

+ (1 − 2t

)x + tx

= t − t

+ 1 hat die spezielle L¨ osung x

(t) = t. Die Differenz y := x − x

erf¨ ullt die Bernoulli-Differentialgleichung

y

+ ((1 − 2t

) + 2t · t)y + ty

= y

+ y + ty

= 0 .

Mit der Substitution z = 1/y ergibt sich die lineare Differentialgleichung z

= z + t mit allgemeiner

L¨ osung z(t) = Ce

− (t + 1). Zweimalige R¨ ucksubstitution ergibt insgesamt x(t) =

+ t als

allgemeine L¨ osung der obigen Riccati-Differentialgleichung.

1.2.4 Exakte Differentialgleichungen

Ist Ω ⊂ R × R offen und f : Ω → R stetig, so ¨ uberdecken die L¨ osungen von x

= f (t, x) ganz Ω

. Mit anderen Worten bilden die L¨ osungen also eine Schar von ebenen Kurven, die ganz Ω

¨ uberdecken. Solch eine Schar von Kurven kann man h¨ aufig besser implizit durch eine Gleichung der Form Φ(t, x) = C mit einer differenzierbaren Funktion Φ : Ω → R und einer frei w¨ ahlbaren Konstanten C angeben statt explizit in der Form x = x(t; C) einer allgemeinen L¨ osung.

Ist (t, x(t)) eine durch t parametrisierte L¨ osung von Φ(t, x) = C, dann ergibt die Differentiation von Φ(t, x(t)) = C nach t unter Beachtung der Kettenregel die Differentialgleichung

∂Φ

∂t (t, x) + ∂Φ

∂x (t, x)x

= 0 Daher bezeichnet man eine Differentialgleichung der Form

g(t, x) + h(t, x)x

= 0 oder symbolisch g(t, x) dt + h(t, x) dx = 0 (1.14) mit zwei Funktionen g, h : Ω → R als exakte Differentialgleichung, wenn es eine Funktion Φ : Ω → R mit g =

und h =

gibt. In diesem Fall sind die L¨ osungen der Differentialgleichung (1.14) implizit durch Φ(t, x) = C gegeben. Der folgende Satz stellt ein leicht zu ¨ uberpr¨ ufendes Kriterium f¨ ur die Exaktheit der Differentialgleichung (1.14) bereit.

Satz 1.24. Ist Ω ⊂ R × R ein einfach zusammenh¨ angendes Gebiet (d.h. Ω ist offen, zusam- menh¨ angend und hat keine

” L¨ ocher“) und sind die Funktionen g, h : Ω → R stetig differenzierbar, dann ist die Differentialgleichung (1.14) genau dann exakt, wenn

=

gilt.

Beweis: Gibt es eine Funktion Φ : Ω → R mit g =

und h =

, dann ist aufgrund der stetigen Differenzierbarkeit von g und h die Funktion Φ zweimal stetig differenzierbar, also stimmen nach dem Satz von Schwarz die gemischten Ableitungen

=

und

=

uberein und die ¨ eine Richtung des Satzes ist gezeigt. F¨ ur den Beweis der anderen Richtung verweisen wir auf

[K¨ onigsberger, 11.3,11.4]. 2

F¨ ur ein einfach zusammenh¨ angendes Gebiet Ω ⊂ R × R kann man also zur L¨ osung von (1.14) die folgenden Schritte durchf¨ uhren:

(a) Pr¨ ufe, ob

=

gilt; wenn nicht, dann ist die Differentialgleichung nicht exakt und man muss nach einer anderen L¨ osungsmethode suchen (z.B. einen integrierenden Faktor finden).

(b) Wenn die Differentialgleichung exakt ist, dann bestimme man durch Integration von g nach t (bei festgehaltenem x) eine Funktion Ψ : Ω → R mit g =

.

(c) Setzt man danach den Ansatz Φ(t, x) := Ψ(t, x) + Γ(x) in die Gleichung h =

ein, so erh¨ alt man Γ

(x) = h(t, x) −

(t, x). Die Funktion auf der rechten Seite h¨ angt dann gar nicht von t ab (ansonsten hat man sich verrechnet), also liefert Integration nach x eine nur von x abh¨ angige Funktion Γ, und Φ(t, x) := Ψ(t, x) + Γ(x) ist die gesuchte Funktion mit g =

und h =

.

(d) Zu einem Anfangswert (t

, x

) ∈ Ω ist die L¨ osung von (1.14) dann implizit durch Φ(t, x(t)) = C gegeben, wobei C = Φ(t

, x

) ist.

2Denn nach dem sp¨ater formulierten Satz 1.43 von Peano existiert durch jeden Punkt (t0, x0) ∈Ω eine nicht weiter fortsetzbare L¨osung x:Imax →R, die sich an den endlichen Randpunkten ihres offenen Existenzintervalls Imaxdem Rand von Ω beliebig n¨ahert (oder gegen±∞geht).

Nat¨ urlich k¨ onnte man im zweiten und dritten Schritt auch erst h nach x (bei festgehaltenem t) integrieren, um ein Ψ mit h =

zu erhalten, und dann durch Einsetzen von Φ(t, x) = Ψ(t, x)+Γ(t) in g =

eine nur von t abh¨ angige Funktion Γ zu erhalten.

Integrierender Faktor

Ist die Differentialgleichung (1.14) nicht exakt, so kann man manchmal durch Multiplikation mit einer Funktion m : Ω → R , m 6= 0, aus (1.14) eine exakte Differentialgleichung machen. In diesem Fall nennt man m einen integrierenden Faktor (oder Eulerschen Multiplikator) der Differentialglei- chung (1.14). Dazu beobachte man, dass

m(t, x)g(t, x) + m(t, x)h(t, x)x

= 0

f¨ ur ein einfach zusammenh¨ angendes Gebiet Ω ⊂ R × R genau dann exakt ist, wenn m ∂g

∂x + ∂m

∂x g = m ∂h

∂t + ∂m

∂t h gilt. H¨ angt insbesondere

∂g

∂x−^∂h_∂t

h

bei h 6= 0 nur von t ab, dann kann man aus

∂g

∂x

−

h =

∂m

∂t

m

einen nur von t abh¨ angigen integrierenden Faktor m = m(t) bestimmen (h¨ angt analog

∂h

∂t−^∂g_∂x

g

bei

g 6= 0 nur von x ab, dann existiert ein nur von x abh¨ angiger integrierenden Faktor m = m(x)).

Beispiel 1.25. Die Differentialgleichung (2t

+ 2tx

+ 1)x + (3x

+ t)x

= 0 auf Ω = R × R ist wegen

∂g

∂x = 6tx

+ 2t

+ 1 6= 1 = ∂h

∂t nicht exakt, aber

∂g

∂x

−

h = 6tx

+ 2t

3x

+ t = 2t h¨ angt nur von t ab. Aus 2t =

∂m

∂t

m

= (log |m|)

(t) ergibt sich der nur von t abh¨ angige integrierende Faktor m(t) = e

, und durch Multiplikation mit diesem geht die Differentialgleichung (2t

+ 2tx

+ 1)x + (3x

+ t)x

= 0 in die exakte Differentialgleichung

e

(2t

+ 2tx

+ 1)x + e

(3x

+ t)x

= 0

¨ uber. Integration von e

(3x

+t) nach x liefert Ψ(t, x) = e

(x

+tx), und aus Φ(t, x) = Ψ(t, x)+Γ(t) ergibt sich durch Einsetzen in g =

die Gleichung

e

(2t

+ 2tx

+ 1)x = 2te

x(x

+ t) + e

x + Γ

(t)

also Γ

(t) = 0 und daher z.B. Φ(t, x) = e

x(x

+t). Die L¨ osungen von (2t

+2tx

+1)x+(3x

+t)x

= 0 sind also implizit durch e

x(x

+ t) = C gegeben, eine L¨ osung zum Anfangswert x(−1) = 1 ist also beispielsweise implizit durch e

x(x

+ t) = 0 oder explizit durch x(t) =

(p |t| t ≤ 0

0 t ≥ 0 gegeben.

1.3 Elementar l¨ osbare Differentialgleichungen 2. Ordnung

1.3.1 Spezielle homogene lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung

Lineare Schwingungsgleichungen mit D¨ ampfung Eine homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung

x

+ 2µx

+ ω

x = 0 (1.15)

mit konstanten Koeffizienten µ ≥ 0, ω

> 0, nennt man auch eine lineare Schwingungsgleichung mit D¨ ampfung. Der Ansatz x(t) = e

f¨ uhrt auf

(λ

+ 2µλ + ω

)e

= 0 und somit auf λ = −µ ± p

µ

− ω

(wobei der Term unter der Wurzel negativ und dann λ komplex sein kann). Im Fall µ 6= ω

sind also e

√

µ²−ω²₀)t

und e

√

µ²−ω₀²)t

(i.a. komplexe) linear unabh¨ angige L¨ osungen, im Fall µ = ω

sind e

und te

linear unabh¨ angige L¨ osungen, wie man durch Einsetzen in (1.15) und Berechnung der sp¨ ater eingef¨ uhrten Wronski-Determinante leicht ¨ uberpr¨ ufen kann.

Sp¨ ater werden wir solch ein System von linear unabh¨ angigen L¨ osungen Fundamentalsystem nennen und zeigen, dass sich jede L¨ osung von (1.15) als Linearkombination der L¨ osungen eines Funda- mentalsystems schreiben l¨ aßt. Alle L¨ osungen von (1.15) sind also von der Form

x(t) = c

e

√

µ²−ω²₀)t

+ c

e

√

µ²−ω²₀)t

bei µ 6= ω

bzw.

x(t) = c

e

+ c

te

bei µ = ω

.

Wir wollen nun noch reelle L¨ osungen zu diesen i.a. komplexen L¨ osungen gewinnen und ihr lang- fristiges Verhalten diskutieren. Dazu unterscheiden wir vier F¨ alle.

• Unged¨ ampfte Schwingung (µ = 0): In diesem Fall lautet die allgemeine reelle L¨ osung x(t) = c

cos(ω

t) + c

sin(ω

t), jede L¨ osung ist also periodisch mit Periode

0

.

• Schwache ged¨ ampfte Schwingung (0 < µ < ω

): In diesem Fall ist die allgemeine reelle L¨ osung durch x(t) = c

e

cos(ωt) + c

e

sin(ωt) mit ω := p

ω

− µ

< ω

gegeben, die Schwingungen werden im Lauf der Zeit ged¨ ampft und es gilt x(t) → 0 f¨ ur t → +∞.

• Aperiodischer Grenzfall (µ = ω

): In diesem Fall wechselt die allgemeine reelle L¨ osung x(t) = c

e

+ c

te

h¨ ochstens einmal ihr Vorzeichen und geht dann f¨ ur t → +∞ gegen Null.

• Stark ged¨ ampfte Schwingung (µ > ω

): In diesem Fall ist mit κ := p

µ

− ω

< µ die allgemeine reelle L¨ osung durch x(t) = c

e

+ c

e

gegeben, sie wechselt niemals ihr Vorzeichen und konvergiert wegen µ ± κ ≥ 0 f¨ ur t → +∞ exponentiell schnell gegen Null.

Differentialgleichungen f¨ ur orthogonale Polynome

Ist µ ein Maß auf einem Intervall (a, b), so heißt eine Folge (P

) von Polynomen n-ten Grades orthogonal in L

(a, b), falls R

a

P

(x)P

(x) dµ(x) = 0 f¨ ur n 6= m gilt. H¨ aufig erh¨ alt man orthogo-

nale Polynome als L¨ osungen von parameterabh¨ angigen homogenen linearen Differentialgleichung

zweiter Ordnung.