J. Cuntz und T. Timmermann SS 14
Ubung zur K-Theorie¨ Blatt 6
Aufgabe 1. F¨ur n ∈ N ist der Moore-Raum Xn definiert als Quotient von D nach ∼n, wobei z1 ∼n z2 genau dann, wenn z1 = z2 oder wenn |z1| = |z2| und z1n =z2n. Zeige: K0(C(Xn)) = Z⊕(Z/nZ) und K1(C(Xn)) = 0. Benutze dazu eine Abbildung zwischen kurzen exakten Sequenzen der Form
0 //C0(R2) //C(X _n)
φ
π //C(T) //
ρn
0
0 //C0(R2) //C(D) //C(T) //0,
und die Nat¨urlichkeit der 6-Term-Sequenz in der K-Theorie. Hier ist
• φ induziert von der Quotientenabbildung D→Xn,
• ρn definiert durch (ρn(f))(z) =f(zn),
• π geeignet zu definieren.
Aufgabe 2. Bezeichne ∨nS1 den Raum, den man erh¨alt, wenn man n Kopien von S1 jeweils am Punkt (1,0) zusammenklebt. Berechne K0(C(∨nS1)) und K0(C(∨nS1)) mit Hilfe einer geeigneten exakten Sequenz I →C(∨nS1)→B. Aufgabe 3. Sei φ:A →B ein ∗-Homomorphismus zwischen C∗-Algebren und
Eφ ={(f, a)∈C([0,1], B)⊕A:f(0) = 0, f(1) =φ(a)}
der zugeh¨orige Abbildungskegel. Konstruiere eine exakte 6-Term-Sequenz der Form
K1(B) //K0(Eφ) //K0(A)
K1(A)
OO
K1(Eφ)
oo K0(B).oo
1
