J. Cuntz und T. Timmermann WS 13/14
Ubung zu Operatoralgebren¨ Blatt 7 f¨ur den 19.01.14
Das maximale Tensorprodukt A1 b
maxA2 zweier C-Algebren A1, A2 ist die uni- verselle C-Algebra D mit -Homomorphismen ιi: Ai Ñ MpDq, deren Bilder kommutieren und D erzeugen in dem Sinne, dass ι1pA1qι2pA2q linear dicht ist in D. Man kann zeigen, dass das isomorph zur einh¨ullenden C-Algebra des algebraischen Tensorproduktes von A1 und A2 ist.
Aufgabe 1. Seien X, Y kompakte R¨aume. Zeigen Sie:
(a) CpXq b
maxCpYqist kommutativ.
(b) Das Spektrum von CpXq b
maxCpYq ist XY (konstruieren Sie zumindest eine nat¨urliche Bijektion von Mengen).
(c) ¨Ubertragen Sie die ¨Uberlegungen auf den Fall, dass X und Y nur lokal- kompakt sind.
Aufgabe 2. Sei H ein separabler Hilbertraum, A eine unitale beliebige C- Algebra,pPnqneine wachsende Folge von Projektionen inKpHqmit limnPnξ ξ f¨ur alle ξ PH. Zeigen Sie:
(a) F¨ur jedes T PKpHqgilt limnPnT Pn T. (b) F¨ur jedesS aus KpHq b
maxA gilt S limnSn wobeiSn: pPnb1AqSpPnb 1Aq.
(c) pPnb1AqpKpHq b
maxAqpPnb1Aq MdnpAq, wobei dndimPnpHq. (d) Die Abbildung pPnb1AqpKpHq b
maxAqpPnb1Aq ÑKpHq b
minA ist injektiv.
(e) Die QuotientenabbildungKpHq b
max
AÑKpHq b
min
Aist ein Isomorphismus.
Aufgabe 3. Wir betrachten die Unter-Halbgruppe P t0,2,3,4, . . .u N t0,1,2, . . .u.
(a) Sei µ ein links-invariantes Mittel auf Z und bezeichne α: l8pZq Ñ l8pZq die Spiegelungpαpfqqpnq fpnq. Zeigen Sie, dass die Einschr¨ankung von µoder vonµαaufl8pNq l8pZqnicht verschwindet und nach Skalierung ein links-invariantes Mittel aufl8pNqundl8pPqliefert. (D.h.NundP sind mittelbar.)
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Die folgenden Teilaufgaben sind unabh¨angig von (a). Jedes Rechts-Ideal in P ist von der Form
tn, n 1, n 2, n 3, . . .u mit n ¥2 oder tn, n 2, n 3, . . .u mit nP P. Wir bezeichnen die zugeh¨origen Projektionen in der universellen C-Algebra CpPqmit En,1 bzw. En,2. Zeigen Sie:
(a) Die Projektionen Pn :En 1,1En,1 mit n ¥2 undP0 :E0,2E2,1 sind paarweise orthogonal.
(b) En,2 Pn En 2,1 f¨ur allen PP.
(c) Die von der 1 und den ProjektionenpPnqnPP erzeugteC-Algebra ist gleich der von den Projektionen pEn,1qn und pEn,2qn erzeugten C-Algebra.
(d) F¨ur das Elementv :v3v2 giltvPnv Pn 1 f¨ur allen¥2 undvP0v 0.
(e) Jede irreduzible Darstellung ρvonCpPqfaktorisiert entweder ¨uberCpZq oderCrpPq, je nachdem, obρpPnq 0 f¨ur alle n gilt oder nicht.
(f) Die Quotientenabbildung CpPq ÑCrpPq ist ein Isomorphismus.
F¨ur die Schritte (e) und (f) ist evt. ein Vergleich mit Aufgabe 1 von Blatt 2 hilfreich.
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