ETH Z¨urich Sommer 2008 Dr.P.Thurnheer
Basispr¨ ufung in Grundlagen der Mathematik I
f¨ ur die Studieng¨ ange Biologie, Biotechnologie, Chemie, Chemieingenieur- und Interdisziplin¨ are
Naturwissenschaften
Bitte ausf¨ullen!
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Legi N.:
Bitte nicht ausf¨ullen!
Aufgabe Punkte Kontrolle 1
2 3 4 5 6 Total
Vollst¨andigkeit
ETH Z¨urich Sommer 2008 Dr.P.Thurnheer
Basispr¨ ufung in Grundlagen der Mathematik I
f¨ ur die Studieng¨ ange Biologie, Biotechnologie, Chemie, Chemieingenieur- und Interdisziplin¨ are
Naturwissenschaften
Wichtig:
• Es wird nicht erwartet, dass Sie alle Aufgaben l¨osen.
• Lesen Sie zuerst alle Aufgaben durch. Verweilen Sie nicht zu lange bei einem Aufgabenteil, der Ihnen Schwierigkeiten bereitet.
• Beachten Sie, dass die einzelnen Teilaufgaben innerhalb einer Aufgabe weit- gehend unabh¨angig voneinander gel¨ost werden k¨onnen.
• Notieren Sie alle Zwischenresultate und L¨osungswege.
• Hinter jeder (Teil-)Aufgabe steht die maximal erreichbare Punktzahl.
• Bitte schreiben Sie auf alle abgegebenen Bl¨atter Ihrer Namen und f¨ullen Sie den Kopf des Deckblattes aus.
• Vergessen Sie nicht, alle Bl¨atter abzugeben.
Zugelassene Hilfsmittel:
• 20 handgeschriebene A4-Seiten
• eine Formelsammlung, ein W¨orterbuch
• keine Taschenrechner
• keine Handy
1. a) Bestimmen Sie
xlim→0
ln(1 +x)−x 1−cosx .
(2 P.) b) Schraffieren Sie in der Gauss’schen Zahlebene den Bereich, der die komple-
xen Zahlen z enth¨alt, f¨ur die gilt
z 1−i
=√
8 und 0≤argz i ≤ 3
4π .
(2 P.) c) Skizzieren Sie die Kurveny= sin(3π x) undy = 10x2−10xund berechnen
Sie die Fl¨ache des endlichen, von ihnen umschlossenen Gebietes.
(3 P.) d) Bestimmen Sie mit Hilfe der Methode der Variation der Konstanten die
allgemeine L¨osung der Differentialgleichung
˙
x(t) = 3 cost− x(t) t .
(3 P.)
2. L¨osen Sie f¨ur die Funktionf :R2 →R
f(x, y) =x(8−4x2+ 5y2)
die folgenden, zum Teil von einander unabh¨angigen Aufgaben.
a) Finden Sie alle kritischen Punkte von f auf der Kreisscheibe K=n
(x, y)
x2 +y2≤1o und klassieren Sie diese.
(3 P.) b) Geben Sie das Taylorpolynom 2. Grades von f im Punkte Q(2,1).
(2 P.) c) In welchen Punkten durchst¨osst die x−Achse das Bild Γ(f) der Funktionf? (1 P.)
d) Geben Sie eine Koordinatengleichung der Tangentialebene an Γ(f)im Punkte 1,1, f(1,1)
.
(2 P.) e) Die Punkte, in denen die Tangentialebene an Γ(f) parallel zur y−Achse ist, liegen auf zwei ebenen Kurven. Beschreiben Sie diese Kurven in Worten und/oder Skizzieren Sie sie.
(2 P.)
3. Wir betrachten das Vektorfeld
F(x, y, z) =
cosx 3y+ lnxz
z sinx
und das in Parameterdarstellung gegebene Fl¨achenst¨uck G
a: (u, v)−→a(u, v) =
u v 2
, 0≤u≤ 3
2π , 0≤v ≤u . a) Skizzieren Sie das Fl¨achenst¨uck G oder beschreiben Sie es in Worten.
(1 P.) b) Berechnen Sie den Fluss ϕ1 vonF in Richtung der positivenz−Achse durch
G.
(2 P.) c) Sei ϕ2 der Fluss des Vektorfeldes F in Richtung der negativen z−Achse durch den Mantel (Gesamtheit der Seitenfl¨achen ohne Grundfl¨ache) der Py- ramide mit Grunfl¨ache G und SpitzeS(4,−1,0).
Dr¨ucken Sie ϕ2 mit Hilfe des Satzes von Gauss durch ϕ1 aus und berechnen Sie dann ϕ2 unter Verwendung Ihres Resultates aus Aufgabe b).
(3 P.)
4. a) Berechnen Sie die Arbeit des Vektorfeldes
F(x, y, z) =
−z y tany
x+ 1
l¨angs des Kreises in der Ebeney= 3 mit Mittelpunkt auf der y−Achse und Radius 2 (Sie k¨onnen den Umlaufsinn selber w¨ahlen) mit Hilfe des Satzes von Stokes.
Hinweis: Sie k¨onnen, wenn Sie wollen, rein geometrisch argumentieren, das heisst, es ist nicht unbedingt n¨otig, die Fl¨ache zu parametrisieren.
(3 P.) b) (Unabh¨angig von a)) Berechnen Sie die untera) definierte Arbeit direkt.
(2 P.) c) Ist F ein Potentialfeld? Begr¨unden Sie Ihre Antwort.
(1 P.)
5. Betrachten Sie die Funktionen
f :R2 −→R3, (u, v)→f(u, v) =
u cosv
usinv u2
,
g :R3 −→R3, (x, y, z)→g(x, y, z) =
2−y2
y z
.
a) Die Funktionfkann aufgefasst werden als Parameterdarstellung einer Fl¨ache E im R3 . Geben Sie eine Koordinatengleichung f¨urE und beschreiben Sie die Fl¨ache in Worten.
(2 P.) b) Begr¨unden Sie: Die Arbeit des Vektorfeldesg(x, y, z) entlang irgendeiner (in positiverx−Richtung durchlaufenen) Strecke auf derx−Achse ist gleich der doppelten L¨ange dieser Strecke.
(2 P.) c) Bestimmen Sie f¨ur die Funktion
h:R2 −→R3, (u, v)→h(u, v) =g
f(u, v)
die Ableitung Dh(u, v) direkt (das heisst, indem Sie zuerst die explizite Darstellung von h angeben) und mit der Kettenregel.
(4 P.)
6. Integrieren Sie die Funktion f(x, y) =x32 y
¨
uber den in der Figur schraffier- ten Bereich D:
a)Direkt
(2 P.) b) Mit Hilfe der Substitution
u=x v =x y
(3 P.)
y = 2 x
y = x 1
0 1 3
x 1
y
D
