J. Cuntz und T. Timmermann WS 13/14 Ubung zu Operatoralgebren¨
Blatt 6 f¨ur den 12.01.14
Dieses Blatt bringt noch eine Erg¨anzung zur Induktion von Darstellungen und f¨uhrt dann Multiplikator-Algebren ein, welche f¨ur die Definition des maximalen Tensorproduktes nicht-unitaler C-Algebren ben¨otigt werden. Das n¨achste Blatt wird sich auf Tensorprodukte konzentrieren.
Aufgabe 1. Sei G eine (diskrete) Gruppe, H G eine Untergruppe. F¨ur unit¨are Darstellungen αi: H Ñ LpHiq und βi: G Ñ LpKiq, wobei i 1,2, be- zeichnen wir mit resGHβi die Einschr¨ankungen, indGHαi die induzierten Darstel- lungen und mit
HomHpα1, α2q tT PLpH1,H2q | @hPH :T α1phq α2phqTu die Intertwiner von α1 nachα2. Analog definieren wir HomGpK1,K2q.
(a) Konstruieren Sie nat¨urliche Abbildungen
HomGpβ1, β2q ÑHomHpresGHpβ1q,resGHpβ2qq, S ÞÑresGHpSq, HomHpα2, α1q ÑHomGpindGHpα2q,indGHpα1qq, RÞÑindGHpRq (so dass resGH und indGH zu Funktoren werden.)
(b) SeiG{H endlich. Konstruieren Sie Bijektionen
HomHpαi,resGHβiq Ñ HomGpindGHαi, βiq, T ÞÑT ,
die nat¨urlich sind in dem Sinn, dass resGHpSqT R ST indGHpRq f¨ur alle R P HomHpα2, α1q, T P HomHpα1,resGH β1q, S P HomGpβ1, β2q (so dass resGH und indGH adjungierte Funktoren werden.)
Aufgabe 2. Sei Aeine C-Algebra. Wir definieren ein A-wertiges inneres Pro- dukt
x|y: AA ÑA, pa, bq ÞÑ xa|by:ab.
Ein Multiplikator von A ist eine AbbildungT: AÑA, f¨ur die eine adjungierte Abbildung T: A Ñ A existiert mit xa|T by xTa|by f¨ur alle a, b P A. Wir bezeichnen mit MpAq die Menge aller Multiplikatoren vonA. Zeigen Sie:
(a) F¨ur jedes aP A istLa: AÑA, b Ñab, ein Multiplikator mit pLaq La
und }La} }a}.
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(b) Sei T P MpAq. Dann ist T eindeutig bestimmt durch T und es gilt T P MpAq, pTq T und Tpabq Tpaqb, T Lpaq LpTpaqqf¨ur allea, bPA.
(c) Sei T P MpAq. Dann ist T linear, beschr¨ankt und es gilt }T}2 }TT} }T}2. (Hinweis: Wenden Sie das Prinzip der gleichm¨aßigen Beschr¨anktheit auf die FamiliepT aqaPA,}a}¤1 an.)
(d) Die Menge aller Multiplikatoren MpAq ist eine norm-abgeschlossene Un- teralgebra vonLpAq, die idA enth¨alt und bez¨uglich der Involution T ÞÑT eine unitaleC-Algebra ist.
(e) Ist A unital undT PMpAq, so gilt T LTp1Aq sowieMpAq A.
Aufgabe 3. Sei H ein Hilbertraum. Zeigen Sie:
(a) Ist I ein abgeschlossenes Ideal in einer C-Algebra A, so existiert genau ein -Homomorphismus π: A Ñ MpIq so, dass folgendes Diagramm kom- mutiert:
A πι //MpIq.
I
ι
^^
L
<<
(b) Aus (a) erh¨alt man einen -Homomorphismus i: LpHq Ñ MpKpHqq und dieser ist injektiv.
(c) Es gibt einen wohldefinierten -Homomorphismus j: MpKpHqq Ñ LpHq mit jpTqSξTpSqξ f¨ur alleT PMpKpHqq, S PKpHq, ξ PH.
(d) i und j sind zueinander invers, es gilt also LpHq MpKpHqq. Aufgabe 4. Das maximale TensorproduktA1 b
max
A2zweierC-AlgebrenA1, A2 ist die universelleC-AlgebraDmit -Homomorphismenιi:Ai ÑMpDq, deren Bilder kommutieren undDerzeugen in dem Sinne, dassι1pA1qι2pA2qlinear dicht ist in D. Zeigen Sie: Sind X, Y lokal-kompakte R¨aume, so ist die C-Algebra C0pXq b
max
C0pYqkommutativ und ihr Spektrum istXY, alsoC0pXq b
max
C0pYq C0pXYq.
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