Gioele Zardini Lineare Algebra I/II FS 2017
Wahr/Falsch Aufgaben: Tag 4
Markiere die richtige Aussagen.
1. Ist die Matrix A halbeinfach, so auch A3.
2. Hat eine 3×3-Matrix nur einen Eigenwertλ mit geometrischer Vielfachheit 3, so kann das nur die Matrix
λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ
sein.
3. Es gibt eine MatrixA mit charakteristischem PolynomPA(λ) =λ2−5λ, welche inver- tierbar ist.
4. Seiv ein Eigenvektor zum Eigenwert 2 f¨ur die Matrizen Aund B. Dann ist v auch ein Eigenvektor zum Eigenwert 2 f¨ur die Matrix A+B.
5. Seiv ein Eigenvektor zum Eigenwert 2 f¨ur die Matrizen Aund B. Dann ist v auch ein Eigenvektor zum Eigenwert 2 f¨ur die Matrix A·B.
6. Jede invertierbare Matrix ist diagonalisierbar.
7. Gilt P P =P, so kann die MatrixP nur die Eigenwerte 0 und 1 besitzen.
8. Ist v Eigenvektor zum Eigenwert −1 und w Eigenvektor zum Eigenwert 1 der Matrix A, so ist v+w ein Eigenvektor zum Eigenwert 0 (v+w liegt also im Kern von A).
9. Sei Aeine lineare Abbildung undv ein Vektor. Istv ein Eigenvektor zum Eigenwertλ, so ist −v ein Eigenvektor zum Eigenwert −λ.
10. Es seienv1, v2 zwei Eigenvektoren der MatrixA. Dann ist auchv1+v2 ein Eigenvektor von A.
11. Hat die symmetrische 2×2-Matrix A zwei verschiedene Eigenwerte strikt gr¨osser als Null, so ist die L¨osungsmenge von x, y
A x
y
= 1 eine Ellipse in R2.
12. Die Summe zweier Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten ist nie ein Eigenvek- tor.
13. Die Matrizen A= 1 4
5 0
und B =
3 2 7 −2
haben die selben Eigenwerte.
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