Algebra Blatt 7

Prof. Dr. Benjamin Klopsch Sommersemester 2019

Algebra Blatt 7

Abgabe der Lösungen bis zum 20.05.2019, 10:30 Uhr in den dafür vorgesehenen Kästen Bitte geben Sie Lösungen zu den ersten beiden Aufgaben ab; weitere Informationen auf

http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/Algebra_SS19/.

Aufgabe 7.1 (8 Punkte)

Sei R ein Ring mit 1 . Ein Element e ∈ R heiÿt idempotent, falls e

= e ist.

(a) Zeigen Sie: (i) Jedes von 1 verschiedene idempotente Element ist entweder 0 oder ein Rechts- und Links-Nullteiler in R . (ii) Mit e ist auch 1 − e ein idempotentes Element von R .

(b) Sei K ein Körper. Bestimmen Sie alle idempotenten Elemente in: (i) dem Produktring K × K ; (ii) dem Matrizenring Mat

(K) . Begründen Sie jeweils Ihre Antwort. (Hinweis:

Überlegen Sie sich für (ii), daÿ mit jeder idempotenten Matrix A auch jede Matrix B , die ähnlich zu A ist, idempotent ist. Geben Sie sodann geeignete Vertreter für die Ähnlich- keitsklassen idempotenter Elemente an.)

(c) Sei e ∈ R idempotent und zentral in R , d. h. es gelte zusätzlich: ex = xe für alle x ∈ R . Setze S = eR und T = f R für f = 1 − e . Zeigen Sie: (i) S, T ⊴ R ; (ii) S, T sind ihrerseits Ringe mit Einselement e bzw. f ; (iii) R = S + T und S ∩ T = {0} ; folglich ist R ≅ S × T . (d) Sei n ∈ N

mit Primfaktorzerlegung n = ∏

p

. Beschreiben Sie in dem Restklas- senring Z /n Z möglichst explizit alle idempotenten und alle nilpotenten Elemente.

Aufgabe 7.2 (8 Punkte)

Sei R ein Ring mit 1 . Sei n ∈ N, und seien I

, . . . , I

⊴ R mit: I

+ I

= R für alle k, l ∈ { 1, . . . , n } mit k = / l .

(a) Zeigen Sie: Zu k, l ∈ {1, . . . , n} mit k = / l existiert ein Element x

∈ R mit x

≡

1 und x

≡

0 . Folglich erfüllt x

= x

⋯ x

⋅ x

⋯ x

die Kongruenzen: x

≡

1 und x

≡

l

0 für l ∈ { 1, . . . , n } mit k = / l .

(b) Folgern Sie aus (a), daÿ die natürliche Abbildung

η ∶ R → R/I

× . . . × R/I

, x ↦ (x + I

, . . . , x + I

) einen surjektiven Ringhomomorphismus liefert.

(c) Zeigen Sie, daÿ der Kern des in (b) betrachteten Homomorphismus η gleich I

∩. . . ∩I

ist. Folgern Sie: R /( I

∩ . . . ∩ I

) ≅ R / I

× . . . × R / I

.

Bitte wenden!

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Algebra Blatt 7 S. 2/2

Aufgabe 7.3

Sei R ein Ring mit 1 ≠ 0 . Das Jacobson-Radikal Jac(R) von R ist der Schnitt aller maximalen Ideale von R . Zeigen Sie:

Jac(R) = {x ∈ R ∣ ∀y ∈ R ∶ 1 + xy ∈ R

}.

(Hinweis: ⊆ : Verwenden Sie den Satz von Krull, um zu zeigen, daÿ die Annahme z ∈ Jac ( R ) und 1 + z / ∈ R

zu einem Widerspruch führt. ⊇ : Zeigen Sie, daÿ die Annahme x / ∈ Jac(R) und 1 + xy ∈ R

für alle y ∈ R zu einem Widerspruch führt, indem Sie für ein geeignetes maximales Ideal I zu dem Körper R/I übergehen.)

Aufgabe 7.4

Sei R ein noetherscher kommutativer Ring mit 1 ≠ 0 . Beweisen Sie mittels der untenste- henden Anleitung, daÿ dann auch der kommutative Ring R[X] noethersch ist.

Zeigen Sie dazu für vorgegebenes J ⊴ R[X] :

(a) Für jedes n ∈ N

bildet die Menge

I

= {a ∈ R ∣ ∃c

, . . . , c

∈ R ∶ aX

+ c

X

+ . . . + c

X + c

∈ J } ein Ideal von R .

(b) Die in (a) denierten Ideale bilden eine aufsteigende Kette I

⊆ I

⊆ I

⊆ . . . , so daÿ für geeignetes n ∈ N gilt I

= I

= . . . ; daher existieren r ∈ N und f

, . . . , f

∈ J , so dass es zu jedem h ∈ J Polynome g

, . . . , g

∈ R[X] gibt mit

grad(h − (f

g

+ . . . + f

g

)) < n.

(c) Seien n, r ∈ N und f

, . . . , f

∈ J wie in (b) gewählt. Jedes der Ideale I

, . . . , I

⊴ R ist endlich erzeugt. Daher nden sich s ∈ N

und f

, . . . , f

∈ J , so daÿ J = ⟨f

, . . . , f

⟩ ⊴ R[X] endlich erzeugt ist.

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Diese Aussage liefert den sogenannten Hilbertschen Basissatz.