Algebra Blatt 9

Prof. Dr. Benjamin Klopsch Sommersemester 2019

Algebra Blatt 9

Abgabe der Lösungen bis zum 03.06.2019, 10:30 Uhr in den dafür vorgesehenen Kästen Bitte geben Sie Lösungen zu den ersten beiden Aufgaben ab; weitere Informationen auf

http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/Algebra_SS19/.

Aufgabe 9.1 (10 Punkte)

Sei K ein Körper und sei f > K X mit n grad ˆ f  C 1 . Wir betrachten den Faktorring R K X ~ f K X . Der kanonische Homomorphismus η K X R , h ( h f K X liefert einen Isomorphismus ι K Kη . Auf diese Weise dürfen wir den Körper K als Unterring von R auassen. Indem wir α Xη schreiben, erhalten wir

R K α ™Q

h

α

S m > N

, und h

, . . . , h

> K ž .

(a) Zeigen Sie: Jedes Element von R läÿt sich eindeutig als P

h

α

mit h

, . . . , h

> K schreiben. Folgern Sie: Der Ring R trägt auf natürliche Weise die Struktur eines K - Vektorraums der Dimension n mit Basis 1, α, α

, . . . , α

.

(b) Zeigen Sie: R ist ein Körper genau dann, wenn f irreduzibel in K X ist.

(c) Zeigen Sie: α ist eine Nullstelle von f in R , d. h. f ˆ α  0 . Ist S ein kommutativer Ring, der K als Unterring enthält, und gibt es in S ein Element β mit f ˆ ⠍ 0 , so gibt es genau einen Ringhomomorphismus ϕ K α S mit ϕ S

id

und αϕ β .

(d) Sei nun K F

˜ 0, 1  der Körper mit zwei Elementen, und f X

X 1 . Verizieren Sie, daÿ f irreduzibel in F

X ist. (Hinweis: Fertigen Sie zunächst eine vollständige Liste der irreduziblen Polynome über F

von Grad 1 und 2 an.)

(e) Das in (d) angegebene Polynom f kann dafür verwendet werden, um explizit Additions- und Multiplikationstafeln für einen Körper L F

α mit f ˆ α  0 anzufertigen. Jedes Element P

d

α

> L kann dabei in Kurzschreibweise durch einen Ausdruck d

d

d

d

mit geeigneten Ziern d

> ˜ 0, 1  beschrieben werden.

Berechnen Sie unter Verwendung der oben beschriebenen Schreibweise in L die folgenden Elemente: (i) 1011 1100 , (ii) 1010 0110 , (iii) 1010 0110 , (iv) 1011 ~ 1111 .

Aufgabe 9.2 (6+3 Punkte)

Sei K ein Körper und f > K X mit n grad ˆ f  C 1 .

(a) Zeigen Sie, daÿ es einen Erweiterungskörper L von K gibt, d. h. ein Körper L , der K als Unterkörper

enthält, so daÿ f über L in Linearfaktoren zerfällt:

f 㠈 X α

ˆ X α

ˆ X α

 für geeignete γ > K und α

, . . . , α

> L .

(b) Sei L wie in (a), und K ˆ α

, . . . , α

 bezeichne den Schnitt aller Unterkörper M von L mit K 8 ˜ α

, . . . , α

 b M . Zeigen Sie: K ˆ α

, . . . , α

 ist ein Erweiterungskörper von K , über dem f in Linearfaktoren zerfällt. [Zusatzaufgabe: Die Dimension von K ˆ α

, . . . , α

 als Vektorraum über K beträgt höchstens n! .]

Bitte wenden!

1

Ein Unterkörper ist ein Unterring, der selbst ein Körper ist.

S. 1/2

Algebra Blatt 9 S. 2/2

Aufgabe 9.3

Entscheiden Sie, welche der folgenden Polynome in den jeweils angegebenen gauÿschen Ringen

irreduzibel sind, und begründen Sie Ihre Antwort:

(a) X

1 in R X bzw. Q X bzw. Qˆ i  X bzw. F

X , (b) X

169X

143X 26 in R X bzw. Q X bzw. F

X ,

(c) X

X

X

X

X 1 in R X bzw. Q X bzw. F

X , (d) X

X 1 in R X bzw. Q X bzw. F

X , (e) X

341X 210 in R X bzw. Q X bzw. F

X , (f) X

6X

5X 25 in R X bzw. Q X bzw. F

X ,

(g) X

X

Y X

Y

XY

Y

in C X, Y bzw. R X, Y , bzw. Q X, Y .

Zerlegen Sie diejenigen Polynome, die Sie als reduzibel erkannt haben, in dem jeweiligen Ring soweit wie Ihnen möglich in irreduzible Faktoren.

Aufgabe 9.4

(a) Sei K ein Körper und f > K X mit n grad ˆ f  C 0 . Zeigen Sie: Für a > K gilt f ˆ a  0 genau dann, wenn X a S f in K X . Folgern Sie, daÿ f höchstens n Nullstellen in K besitzt.

(b) Der Körper K sei algebraisch abgeschlossen, d. h. jedes nicht-konstante Polynom f >

K X besitze eine Nullstelle in K . Zeigen Sie: Jedes f > K X ˜ 0  läÿt sich in K X als ein Produkt von Linearfaktoren darstellen.

(c) Der Körper C der komplexen Zahlen ist bekanntlich algebraisch abgeschlossen.

Zeigen Sie: Ist z > C eine Nullstelle eines reellen Polynoms f > R X , so ist auch die komplex konjugierte Zahl z eine Nullstelle von f . Folglich läÿt sich f in R X als ein Produkt von Linearfaktoren und von irreduziblen Polynomen vom Grad 2 schreiben.

Insbesondere sind irreduzible Polynome in R X stets vom Grad 1 oder 2 .

(d) Sei K ein Körper und f P

f

X

> K X mit n grad ˆ f  irreduzibel. Zeigen Sie, daÿ auch Ç f P

f

X

> K X irreduzibel ist.

(e) Sei R ein gauÿscher Ring mit Quotientenkörper K , und sei f P

f

X

X

> R X mit n grad ˆ f  C 1 . Ist α > K eine Nullstelle von f , so gilt bereits α > R .

Bemerkung: Insbesondere gilt die Aussage für Z und Q. Etwa hat X

2 oensichtlich keine ganzzahligen Lösungen, und somit ist die reelle Zahl º

2 irrational.

2

Hierbei ist Qˆ i  ˜ z > C S Re ˆ z  , Im ˆ z  > Q. Für p > P bezeichnet F

den Körper mit p Elementen.

3

Möglicherweise haben Sie in der Funktionentheorie bereits einen Beweis für diese Tatsache, den

sogenannten Fundamentalsatz der Algebra, gesehen. Wir werden diesen Sachverhalt gegen Ende der

Vorlesung als Anwendungsbeispiel der Galoisschen Theorie begründen.