Die Aufgaben 1.3 und 1.4 bereiten Sie mündlich zur Besprechung in den Übungen vor.

Prof. Dr. Benjamin Klopsch Sommersemester 2018

Lineare Algebra II Blatt 1

Abgabe der Lösungen bis zum 16.04.2018, 10:15 Uhr in den dafür vorgesehenen Kästen Bitte bearbeiten Sie schriftlich die Aufgaben 1.1 und 1.2 (keine gemeinsame Abgabe!).

Die Aufgaben 1.3 und 1.4 bereiten Sie mündlich zur Besprechung in den Übungen vor.

Beachten Sie auch die allgemeinen Hinweise zur Bearbeitung und Abgabe auf http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/LAII_SS18/.

Aufgabe 1.1 (4 Punkte)

Betrachten Sie die lineare Abbildung

α∶ C

→ C

, (x, y, z) ↦ (z, x, y).

(a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom von α und lesen Sie die Eigenwerte von α ab.

(b) Berechnen Sie Basen für die Eigenräume des Endomorphismus α .

(c) Entscheiden Sie, ob α diagonalisierbar ist und geben Sie ggf. eine Basis B an, so dass die zugehörige Koordinatenmatrix [ α ]

∈ Mat

( C ) diagonal ist.

Aufgabe 1.2 (4 Punkte)

Sei K = Z /5 Z ein Körper mit fünf Elementen. Bestimmen Sie jeweils eine Matrix in Mat

(K) , die

(a) zwei unterschiedliche Eigenwerte λ, µ ∈ K hat, (b) nur einen Eigenwert λ ∈ K hat,

(c) keine Eigenwerte in K hat.

Aufgabe 1.3

Betrachten Sie die lineare Abbildung

α∶ R

→ R

, (x, y, z) ↦ (2x, 3y, 5z).

Bestimmen Sie alle α -invarianten Untervektorräume von R

. Aufgabe 1.4

Sei K ein Körper und λ ∈ K . Seien n ∈ N und A, B ∈ Mat

( K ) . Zeigen Sie:

(a) λ ist ein Eigenwert von A genau dann, wenn λ ein Eigenwert von A

ist.

(b) λ ist ein Eigenwert von AB , genau dann, wenn λ ein Eigenwert von BA ist. Zu- satzfrage: Hat λ dann als Eigenwert von BA auch dieselbe (algebraische oder geo- metrische) Vielfachheit wie als Eigenwert von AB ?

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