(a) Sei K ein Körper der Charakteristik p > 0 . Zeigen Sie: Die Abbildung F ∶ K → K, α ↦ α

Prof. Dr. Benjamin Klopsch Sommersemester 2019

Algebra Blatt 12

Abgabe der Lösungen bis zum 24.06.2019, 10:30 Uhr in den dafür vorgesehenen Kästen Bitte geben Sie Lösungen zu den ersten beiden Aufgaben ab. Durch die Abgabe von Lösungen zu den weiteren Aufgaben können Sie wie angezeigt Bonuspunkte erwerben.

Aufgabe 12.1 (6 Punkte)

(a) Sei K ein Körper der Charakteristik p > 0 . Zeigen Sie: Die Abbildung F ∶ K → K, α ↦ α

ist ein Körperendomorphismus.

Ist K endlich, so ist F ein Automorphismus von K .

Bemerkung: F heiÿt Frobenius-Endomorphismus bzw. -Automorphismus von K .

(b) Sei K ein Körper und E ∶ K → K ein beliebiger Körperendomorphismus. Zeigen Sie:

Die Fixpunktmenge Fix

( E ) = { α ∈ K ∣ α

= α } bildet einen Teilkörper von K .

(c) Sei p ∈ P und n ∈ N. Nach Aufgabe 9.2 existiert ein Erweiterungskörper L von F

, so daÿ X

− X in L [ X ] in Linearfaktoren zerfällt. Sei E = F

die n -te Potenz des Frobenius-Automorphismus von L . Zeigen Sie: K = Fix

( E ) ist ein Teilkörper von L mit der Mächtigkeit ∣ K ∣ = p

.

(Hinweis: Oenbar ist K = { α ∈ L ∣ α

− α = 0 }. Verwenden Sie Aufgabe 10.4, um festzustellen, daÿ das Polynom X

− X nur einfache Nullstellen in L besitzt.)

Aufgabe 12.2 (10 Punkte)

(a) Sei K ein Körper und G eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe K

. Ziel dieser Teilaufgabe ist es, zu zeigen, daÿ G zyklisch ist.

Für d ∈ N bezeichne ψ

( d ) die Anzahl der Elemente der Ordnung d in G und N

( K ) die Nullstellenmenge des Polynoms X

− 1 in K . Weiter sei m = ∣ G ∣.

Zeigen Sie für d ∈ N mit ψ

( d ) ≠ 0 : (i) d ∣ m und { g ∈ G ∣ ord ( g ) = d } ⊆ N

( K ); (ii) N

( K ) bildet eine zyklische Untergruppe der Ordnung d von G ; (iii) ψ

( d ) = ϕ ( d ), wobei ϕ die Eulersche Phi-Funktion bezeichnet.

Folgern Sie weiter: (iv) ∑

ψ

( d ) = m = ∑

ϕ ( d ); (v) ψ

( m ) ≠ 0 , also ist G zyklisch.

(Hinweis: Erinnern Sie sich an Aufgabe 10.2.)

(b) Folgern Sie: Die multiplikative Gruppe K

eines endlichen Körpers K ist zyklisch.

Jede Erweiterung L ∣ K von endlichen Körpern ist einfach.

(c) Zeigen Sie: Sind K

, K

endliche Körper mit ∣ K

∣ = ∣ K

∣, so gilt K

≅ K

.

(Hinweis: Sei ∣ K

∣ = ∣ K

∣ = p

mit p ∈ P und n ∈ N. Die Primkörper von K

und K

sind isomorph zu F

; ohne Einschränkung dürfen sie sogar gleich F

angenommen werden. Die Körper K

und K

bestehen jeweils aus den p

verschiedenen Nullstellen des Polynoms X

− X in K

bzw. K

. Ist α

ein Erzeuger der multiplikativen Gruppe K

und f = Minpol

( α

), so folgt K

≅ F

[ X ]/ f F

[ X ]. Zeigen Sie nun F

[ X ]/ f F

[ X ] ≅ K

.)

Bitte wenden!

1

d. h. ein Ringhomomorphismus von dem Körper K in sich, der nicht der Nullhomomorphismus ist.

2

d. h. ein Ringisomorphismus von dem Körper K auf sich.

S. 1/2

Algebra Blatt 12 S. 2/2

Aufgabe 12.3 (+4 Punkte)

Sei ABCDE ein reguläres 5 -Eck mit Seitenlängen AB , BC , . . . , EA gleich 1 .

(a) Finden Sie eine geometrische Erklärung dafür, daÿ die Diagonale EC parallel zu der Seite AB ist. Sei F der Schnittpunkt der Diagonalen EC und AD . Schlieÿen Sie, daÿ ABCF ein gleichseitiges Parallelogramm mit Seitenlänge 1 ist. Betrachten Sie die Drei- ecke ACF und DEF , um zu zeigen, daÿ das Verhältnis AC ∶ CF gleich dem Verhältnis DE ∶ EF ist. Setzen Sie a = CF und b = EF , und folgern Sie, daÿ ( a + b )/ a = a / b gilt.

Bemerken Sie, daÿ a = 1 ist und berechnen Sie b .

(b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Vorüberlegungen aus (a) die Länge einer Diagonalen, z. B.

CE , in dem regulären 5 -Eck ABCDE . Finden Sie daraufhin eine Konstruktionsvorschrift mit Zirkel und Lineal für ein reguläres 5 -Eck zu einer vorgegebenen Seitenlänge.

(c) Erläutern Sie, wie der Körper Q( e

) konkret durch schrittweises Hinzufügen von Quadratwurzeln aus Q hervorgeht.

Aufgabe 12.4 (+4 Punkte)

Sei K ein Teilkörper von C, der zudem unter komplexer Konjugation abgeschlossen sei, d. h. welcher K = K erfülle. Ähnlich wie in der Vorlesung bezeichne K( K ) die Menge aller Kreise in der komplexen Ebene, deren Mittelpunkt in K liegt und deren Radius gleich dem Abstand zwischen zwei Punkten aus K ist.

Sei z ∈ C ein Punkt in der Schnittmenge zweier verschiedener Kreise aus K( K ). Zeigen Sie: Es gibt ein w ∈ C mit w

∈ K und z ∈ K ( w ).

(Hinweis: Parametrisieren Sie die beiden Kreise als

k

= { z ∈ C ∣ ( z − a )( z − a ) = r

} , k

= { z ∈ C ∣ ( z − b )( z − b ) = s

}

mit a, b, r

, s

∈ K und a /= b . Nach Voraussetzung ist z ∈ k

∩ k

. Bilden Sie die Dierenz

der Parametergleichungen und lösen Sie dann nach z auf. Eliminieren Sie z aus der

Parametergleichung für k

, um eine quadratische Gleichung für z mit Koezienten in K

herzuleiten. Schlieÿen Sie den Beweis mittels quadratischer Ergänzung ab.)