Aufgabe 14.1 (+4 Punkte)

(1)

Prof. Dr. Benjamin Klopsch Sommersemester 2019

Algebra Blatt 14

Abgabe der Lösungen bis zum 08.07.2019, 10:30 Uhr in den dafür vorgesehenen Kästen Die Bearbeitung der Aufgaben ist optional, sie können jedoch durch die Bearbeitung noch Zusatzpunkte erhalten. Die Korrekturen können ab dem 10.07. bei Herrn Kuckuck abgeholt werden; weitere Informationen auf

http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/Algebra_SS19/.

Aufgabe 14.1 (+4 Punkte)

Seien p, q verschiedene Primzahlen, und sei (a) L = Q (

√ p +

√ q ) bzw. (b) L = Q (

√ p +

√ q + i ) , jeweils als Teilkörper von C, wobei i =

√

− 1 ist.

Zeigen Sie, daÿ L ∣ Q eine endliche galoissche Körpererweiterung ist. Bestimmen Sie sodann die Galoisgruppe G = Gal ( L ∣ Q ) , alle Untergruppen von G und, über den Hauptsatz der Galoisschen Theorie, den vollständigen Zwischenkörperverband von L ∣ Q.

Aufgabe 14.2 (+4 Punkte)

(a) Sei L ∣ K eine Erweiterung von endlichen Körpern. Zeigen Sie, daÿ L ∣ K galoissch ist und daÿ die Galoisgruppe G = Gal ( L ∣ K ) zyklisch ist.

(Hinweis: Verwenden Sie die früheren Aufgaben zu endlichen Körpern auf Blatt 12. Ist p = char ( K ) , so bietet es sich an, zu zeigen, daÿ G von einer geeigneten Potenz des Frobenius-Automorphismus erzeugt wird.)

(b) Beschreiben Sie explizit den Zwischenkörperverband für die Erweiterung F 11

¹⁰⁵⁰

∣ F 11

⁷

endlicher Körper der Mächtigkeiten 11 ¹⁰⁵⁰ bzw. 11 ⁷ . Geben Sie auch die Grade der ein- zelnen Körpererweiterungen innerhalb des Zwischenkörperverbandes an.

Aufgabe 14.3

(a) Sei L ein Zerfällungskörper für f = X ³ + 3X − 30 über Q. Bestimmen Sie die Galois- gruppe G = Gal ( L ∣ Q ) .

(Hinweis: Wieviele reelle Nullstellen hat f ? Studieren Sie die Operation von G auf der Nullstellenmenge von f .)

(b) Sei f ∈ Q [ X ] normiert und irreduzibel vom Grad p , wobei p ∈ P ungerade sei. Weiter habe f genau zwei nicht-reelle Nullstellen in C. Sei L ein Zerfällungskörper für f über Q.

Bestimmen Sie die Galoisgruppe G = Gal ( L ∣ Q ) .

(Hinweis: Studieren Sie wieder die Operation von G auf der Nullstellenmenge von f . Beachten Sie, daÿ G auf diese Weise als Untergruppe der Gruppe Sym ( p ) betrachtet werden kann. Machen Sie sich Aufgabe 2.2 zunutze.)

Aufgabe 14.4

Sei L der Zerfällungskörper für f = X ⁴ − 2 über Q. Bestimmen Sie soweit wie Ihnen möglich die Galoisgruppe G = Gal ( L ∣ Q ) und den Zwischenkörperverband von L ∣ Q.

(Hinweis: Studieren Sie die Operation von G auf der Nullstellenmenge von f .)

S. 1/1

Aufgabe 14.1 (+4 Punkte)

Prof. Dr. Benjamin Klopsch Sommersemester 2019

Algebra Blatt 14

Abgabe der Lösungen bis zum 08.07.2019, 10:30 Uhr in den dafür vorgesehenen Kästen Die Bearbeitung der Aufgaben ist optional, sie können jedoch durch die Bearbeitung noch Zusatzpunkte erhalten. Die Korrekturen können ab dem 10.07. bei Herrn Kuckuck abgeholt werden; weitere Informationen auf

http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/Algebra_SS19/.

Aufgabe 14.1 (+4 Punkte)

Seien p, q verschiedene Primzahlen, und sei (a) L = Q (

√ p +

√ q ) bzw. (b) L = Q (

√ p +

√ q + i ) , jeweils als Teilkörper von C, wobei i =

√

− 1 ist.

Zeigen Sie, daÿ L ∣ Q eine endliche galoissche Körpererweiterung ist. Bestimmen Sie sodann die Galoisgruppe G = Gal ( L ∣ Q ) , alle Untergruppen von G und, über den Hauptsatz der Galoisschen Theorie, den vollständigen Zwischenkörperverband von L ∣ Q.

Aufgabe 14.2 (+4 Punkte)

(a) Sei L ∣ K eine Erweiterung von endlichen Körpern. Zeigen Sie, daÿ L ∣ K galoissch ist und daÿ die Galoisgruppe G = Gal ( L ∣ K ) zyklisch ist.

(Hinweis: Verwenden Sie die früheren Aufgaben zu endlichen Körpern auf Blatt 12. Ist p = char ( K ) , so bietet es sich an, zu zeigen, daÿ G von einer geeigneten Potenz des Frobenius-Automorphismus erzeugt wird.)

(b) Beschreiben Sie explizit den Zwischenkörperverband für die Erweiterung F 11

∣ F 11

endlicher Körper der Mächtigkeiten 11 1050 bzw. 11 7 . Geben Sie auch die Grade der ein- zelnen Körpererweiterungen innerhalb des Zwischenkörperverbandes an.

Aufgabe 14.3

(a) Sei L ein Zerfällungskörper für f = X 3 + 3X − 30 über Q. Bestimmen Sie die Galois- gruppe G = Gal ( L ∣ Q ) .

(Hinweis: Wieviele reelle Nullstellen hat f ? Studieren Sie die Operation von G auf der Nullstellenmenge von f .)

(b) Sei f ∈ Q [ X ] normiert und irreduzibel vom Grad p , wobei p ∈ P ungerade sei. Weiter habe f genau zwei nicht-reelle Nullstellen in C. Sei L ein Zerfällungskörper für f über Q.

Bestimmen Sie die Galoisgruppe G = Gal ( L ∣ Q ) .

(Hinweis: Studieren Sie wieder die Operation von G auf der Nullstellenmenge von f . Beachten Sie, daÿ G auf diese Weise als Untergruppe der Gruppe Sym ( p ) betrachtet werden kann. Machen Sie sich Aufgabe 2.2 zunutze.)

Aufgabe 14.4

Sei L der Zerfällungskörper für f = X 4 − 2 über Q. Bestimmen Sie soweit wie Ihnen möglich die Galoisgruppe G = Gal ( L ∣ Q ) und den Zwischenkörperverband von L ∣ Q.

(Hinweis: Studieren Sie die Operation von G auf der Nullstellenmenge von f .)

S. 1/1

endlicher Körper der Mächtigkeiten 11 ¹⁰⁵⁰ bzw. 11 ⁷ . Geben Sie auch die Grade der ein- zelnen Körpererweiterungen innerhalb des Zwischenkörperverbandes an.

(a) Sei L ein Zerfällungskörper für f = X ³ + 3X − 30 über Q. Bestimmen Sie die Galois- gruppe G = Gal ( L ∣ Q ) .

Sei L der Zerfällungskörper für f = X ⁴ − 2 über Q. Bestimmen Sie soweit wie Ihnen möglich die Galoisgruppe G = Gal ( L ∣ Q ) und den Zwischenkörperverband von L ∣ Q.