1.10) nD-Integration: Integralsatz von Green
Bernd Hartke
Theoretische Chemie
Institut f¨ur Physikalische Chemie Christian-Albrechts-Universit¨at
Max-Eyth-Str. 2 24118 Kiel
hartke@pctc.uni-kiel.de
https://ravel.pctc.uni-kiel.de/
k
dS
x
y
z θ
dy
dx Gxy
G
Gegeben: Q(x, y) (Skalarfeld) Gesucht:
• Bereichsintegral ¨uber ˜A von ∂Q∂x
• geschlossenes dy-Kurvenintegral von Q, in ma- thematisch positiver Umlaufrichtung auf Au- ßenrand von ˜A, entlang der geraden Wegst¨ucke 1, 2, 3, 4
A ~
C ~
y
a b x
d
c
2 1
3 4
Das Bereichsintegral ist
Z Z
A˜
∂Q(x, y)
∂x dx dy =
d
Z
y=c b
Z
x=a
∂Q(x, y)
∂x dx dy (1)
Mit Hilfe des 1. und 2. Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung
b
Z
a
f(x)dx =
b
Z
a
dF(x)
dx dx = F(b) − F(a) (2)
k¨onnen wir dabei das innere Integral in x umschreiben zu:
d
Z
y=c b
Z
x=a
∂Q(x, y)
∂x dx dy =
d
Z
y=c
{Q(b, y) − Q(a, y)} dy (3) Ohne Spezifikation von Q ist keine weitere Bearbeitung m¨oglich, hier aber auch nicht n¨otig.
Das Kurvenintegral ist:
I
C˜
Q(x, y) dy =
b
Z
a
Q(x, c)dy +
d
Z
c
Q(b, y)dy +
a
Z
b
Q(x, d)dy +
c
Z
d
Q(a, y)dy (4)
Beim 1. und 3. Integral ist dy = 0, das 2. und 4. fassen wir zusammen:
=
d
Z
c
Q(b, y)dy +
c
Z
d
Q(a, y)dy =
d
Z
c
{Q(b, y) − Q(a, y)} dy (5)
Diese speziellen Kurven- und Bereichsintegrale sind also gleich:
Z Z
A˜
∂Q
∂x dx dy = I
C˜
Q dy (6)
Ahnlich herleitbar:¨
Gegeben: P(x, y) (Skalarfeld)
• Bereichsintegral ¨uber ˜A von ∂P∂y
• geschlossenes dx-Kurvenintegral von P, in ma- thematisch positiver Umlaufrichtung auf Au- ßenrand von ˜A, entlang der geraden Wegst¨ucke 1, 2, 3, 4
A ~
C ~
y
a b x
d
c
2 1
3 4
Auch hier sind diese beiden Integrale gleich:
− Z Z
A˜
∂P
∂y dx dy = I
C˜
P dx (7)
(Wenn wir die Umlaufrichtung ge¨andert h¨atten, w¨are dies dieselbe Situation wie vorher, nur
Zusammenfassung der beiden voneinander unabh¨angigen Gleichungen liefert:
Z Z
A˜
∂Q
∂x − ∂P
∂y
dx dy = I
C˜
{P dx + Q dy} (8)
Nicht-rechteckige Bereiche zerlegbar in Summe uber infinitesimale Einzelrechtecke; Kompensation¨ der inneren Kurvenintegral-Abschnitte.
A~
1 A~
2
C
Also gilt der Satz von Green f¨ur beliebig geformte Bereiche und deren Randkurven:
Z Z
A
∂Q
∂x − ∂P
∂y
dx dy = I
xC
{P dx + Q dy} (9)
• mit F~(x, y) = P(x, y)
Q(x, y) und d~r = dx
dy anders notierbar:
Z Z
A
∂Fy
∂x − ∂Fx
∂y
dAxy = Z Z
A
∂Q
∂x − ∂P
∂y
dx dy = I
xC
{P dx + Q dy} = I
xC
F~ · d~r
• F¨ur konservative F~ sind beide Integrale Null.
• Wahl von P und Q beliebig ⇒ Satz von Green gilt auch f¨ur nicht-konservative F~
• “Greens Theorem in der Ebene”, “Gaußscher Integralsatz in der Ebene”. . .
• Verallgemeinerung des 2. Hauptsatzes
b
Z
a
f(x)dx =
b
Z
a
dF(x)
dx dx = F(b) − F(a) (10)
• Bereichs- und Kurvenintegrale h¨angen miteinander zusammen.
