Geschwindigkeit von Schallwellen

(1)

1

17a Akustik

(2)

Schallwellen

Klassizifierung

Audioschall

Infraschall Ultraschall

hörbar für das menschliche Ohr

Frequenzen

geringer als 16 Hz Frequenzen höher

als 20 kHz

(3)

3

Geschwindigkeit von Schallwellen

beweglicher Stempel komprimiert das Gas

ρ

= B v

Geschwindigkeit einer Schallwelle

Longitudinale Welle in einem Seil

T

= μ v

allgemeingültige Beziehung

t Eigenschaf inertiale

t Eigenschaf elastische

v =

Longitudinale Welle in einem Festkörper

ρ

= E v

Abhängigkeit von der Temperatur der Luft

C T s

m _C

+ °

=331 1 273 v

(4)

Abhängigkeit der Schallgeschwindigkeit vom Medium

Gase

Wasserstoff (0°C) 1286 m/s Helium (0°C) 972 m/s

Luft (20°C) 343 m/s

Luft (0°C) 331 m/s

Sauerstoff 317 m/s

Flüssigkeiten

Glycerin 1904 m/s

Seewasser 1533 m/s

Wasser 1493 m/s

Quecksilber 1450 m/s

Kerosin 1324 m/s

Alkohol 1143 m/s

Festkörper

Pyrexglas 5640 m/s

Eisen 5950 m/s

Aluminium 6420 m/s

Autofokusmechanismus in Photokameras

ms 120 s

120 , 0 s

343m m 20 t 2

m 20 Abstand

ms 5.8 s

0.0058 s

343m m 1 t 2

m 1 Abstand

e Schallwell der

gkeit Geschwindi

Objekt zum

Abstand

=

⋅ =

=

⋅ =

=

= t

(5)

5

Periodische Schallwellen

Druckänderung im Medium

(

^kx ^t

)

A t

x

s( , ) = _max cos −ω

Verschiebungsamplitude

( )

max max

v wobei

sin cos )

, (

A P

t kx P

P

t kx A

t x s

ω ρ

ω ω

= Δ

− Δ

= Δ

−

=

Verschiebung erfolgt in Richtung x longitudinale Welle

ΔP_maxMaximale Druckdifferenz in Bezug auf den statischen Druck

Auffallend

90° Phasenverschiebung zwischen Druckwelle und Verschiebungsamplitude

Warum? Druckänderung maximal, wenn sich die Amplitude stark ändert

Wellenlänge der Schallwelle

Amplitude

Druck das ist die Behauptung

(6)

Berechnung der Druckänderung

x B s x

A s B A

P

s A V

x A V

B

V B V P

i i

Δ

− Δ Δ =

− Δ

= Δ

⇓

Δ

= Δ

Δ

=

− Δ

= Δ

: erung Volumenänd

: Volumen

Mediums des

tsmodul Elastizitä

:

wobei

Druckänderung bei Änderung des Volumens

Elastische Eigenschaft eines Körpers bzw. Mediums

( )

(

^kx ^t

)

A P

t kx k

P

t kx k

BA P

t kx x A

B P

x B s P

k p B

ω ω

ρ

ω ρ

ω ω

ω

−

= Δ

↓

−

= Δ

↓

−

= Δ

∂ −

− ∂

= Δ

∂

− ∂

= Δ

=

sin v

sin v²A

cos sin

cos

max v

max

² v

max max

Differentiation

ΔP maximal für sin x=1

(

^kx ^t

)

P P

A P

ω ω

ρ

− Δ

= Δ

⇓

−

= Δ

sin v

max

max max

qed

x s s

∂

→ ∂ Δ

Δ ^Δ^x^→⁰ x

(

^kx ^t

)

P P

A P

ω ω

ρ

− Δ

= Δ

sin v

max

max max

Grenzübergang

anregende Welle

allgemeiner Ausdruck medium

medium

medium B

= ρ v

Ausgangsgleichung

(7)

7

Intensität

frühere Ergebnisse

Energie einer Welle Leistung einer Welle

Definition

Intensität einer Welle

λ ω

λ ρ

λ λ

λ

2

² max

2

1 A A

E

PE KE

E

Stempel

=

+

=

v 2 ²

1 ₂

Amax

A P

t P E

Stempelω ρ

=

Δ

= Δ

v 2 ²

1 Fläche Leistung

2

Amax

I

A I P

Stempel

ρω

=

Intensität einer periodischen Schallwelle ist proportional zum Quadrat der Amplitude proportional zum Quadrat der Winkelfrequenz

v 2

1 _max² ρ I = ΔP

v v

v v Ergebnis Früheres

2 2 max

max 2

2 2 max 2 2 2

max

max max

ρω ρ

ω ρ

ρω

A P

= Δ

↓

= Δ

²

2 max

ω

≈

≈ I

A I

(8)

Eine philosophische Frage

hat aber auch Auswirkungen auf die Moderne Physik!

(9)

9

Der kritisiche Wert für eine erhebliche Belastung beträgt tagsüber 65 Dezibel (Gebirgsfluss)

und nachts 55 Dezibel (Regen)

Terror für die Ohren kann gravierende

Folgen haben

14. April 2008

(10)

Hörrohr

Betrachte Schallquelle, die isotrop ausstrahlt

Mittlere Leistung verteilt sich auf Kugeloberfläche

r2

4 Fläche

Leistung Fläche

eit Energie/ Z

π

I = = = P

Die Intensität einer Schallquelle nimmt invers mit dem Quadrat zum Abstand zur Quelle ab!

Durch ein Hörrohr erhöht sich die Intensität einer Schallquelle,

A weil sich die Schallgeschwindigkeit erhöht

B weil es den Schall in Richtung der Quelle zurückreflektiert

C weil sich der Schall in Richtung des Ausgangs geleitet wird

D weil Schall, der normalerweise das Ohr verpassen würde, das Ohr verreicht

E weil der Schall auf eine kleinere Fläche konzentriert wird

F weil es die Dichte der Luft erhöht

A r r I

I 1 1

2 ⇔ = ≈

≈

Intensität Amplitude

Quizaufgabe für Zuhause

(11)

11

Ohr

Druckempfänger Reduzierung der Fläche um Faktor 20

Trommelfell 55 mm²

Fußplatte des Steigbügels 3 mm² Höherer Druck am Steigbügel

(12)

Hören bis ans Limit

Bei einer Frequenz von 1000 Hz hört das menschliche Ohr Schall bis zu einer Lautstärke, die einer Intensität von 10^-12 W/ m² entspricht.

max 10

5 5 max

12 max

max

2 max

10 3

m² 10 N

87 . 2

m² 10 W

s 343m m³

2 kg . 1 2

v 2

1

−

⋅ Δ =

=

⋅

= Δ

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ Δ

= Δ

⇓

= Δ

Luft Luft

P P P P P

I P

ρ

früheres ρ

Ergebnis

Berechne die Auslenkung

( )

pm 100 m

10 d

Atoms eine

r Druchmesse Vergleich

Zum

pm 10 m

10 1 . 0

Hz s 1000

343m m³

120 kg

m² 10 N

2.87 2

1

v 2

1

vA

10 Atom

10 max

5

max

max max

2

max max

=

⋅

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= ⋅

= Δ

⇓

= Δ

−

=

A A

f A P

P

f

π

ρ π ρω

π ω

Die Schmerzschwelle beträgt 28.7 N/m², was einer Amplitude von 1.11x10^-5 m (11 μm) entspricht

(13)

13

Dezibel

Das Ohr hört logarithmisch!

Startendes Flugzeug 150 dB Maschinengewehr 130 dB

Rockkonzert 120 dB

U-Bahn 100 dB

Straßenverkehr 80 dB Staubsauger 70 dB Gespräch 50 dB

Mücke 40 dB

Flüstern 30 dB Blätterrauschen 10 dB

Hörschwelle 0 dB Charakterisierung der Lautstärke

durch eine logarithmische Skala

[ ]

[ ] [ ]

^m²^dB

I W

e Hörschwell tensität

Referenzin

m² 10 W

wobei log 10

12 0

0

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

−

β β

I

I I

Einheit Dezibel dB

Definition

Anforderung an gute Lautsprecher

im Frequenzbereich von 30Hz bis 18 kHz: +/-3dB

2

10 3

. 0 log

log 10 dB 3

log log

10 dB 3

log 10 log

10

1 2

3 . 0 1

2 1

2

1 2

0 1 0

1

0 1 0

1 1

2

=

⇔

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

−

I I

I I I

I

I I

I I I

I

I I I

β I β

Beispiele

Frequenzkurve eines Lautsprechers

(14)

14

Lautstärke vs Frequenz

Hörbereich des Menschen

Infraschall Ultraschall

(15)

15

Wie hängt die Lautstärke von der Intensität

Empfindungsstärke vs Reizstärke

Weber-Fechner Gesetz Stevens Gesetz

Intensität :

Lautstärke :

I

( )

L phon

: Einheit

log log

0

0 I

I L I

L^WF ⎟⎟ ≈

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

sone : Lautheit Einheit

0 0

k k

S

S I

I L I

L ⎟⎟⎠ ≈

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

Wert von Dezibel und phon stimmen bei einer Frequenz von 1000 Hz überein Psychophysikalische Sichtweise

subjektive Hörempfindung

Die bunten Linien nennt man Isophonen

so was taucht im Zusammenhang mit dem Thema Thermodynamik in ähnlicher Weise noch mal auf

(16)

Dopplereffekt

bewegte Schallquelle

Dieser Beobachter hört

eine tiefere Frequenz Dieser Beobachter hört eine höhere Frequenz Für diesen Beobachter ändert

sich die Frequenz nicht

(17)

17

Dopplereffekt

f f f

f f

f

>

⇒

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

=

↓

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

=

' v

1 v '

v 1 v

v '

' v

Luft S

v

Luft S Luft Luft

Luft

λ

λ λ

S Luft

S

Luft S

Luft S S

S Luft

v v v '

v 1 v '

v v v

'

v

der Zeit in

O Beobachter und

Quelle zwischen

derung Abstandsän

)

! ( v

der Zeit in

e Schallwell der

g Ausbreitun

gkeit v Geschwindi

mit zu r aufeinande

sich bewegen Beobachter

und Quelle

1

Frequenz lte

Ausgestrah

≈ Δ

⇒

−

=

−

= Δ

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

=

−

=

−

=

−

=

λ λ λ

λ λ

λ λ λ

λ

T d

d

T d

T S T

d

T S

T f

f

S

Wellenlängenänderung proportional der Geschwindigkeit der

Quelle Frequenz erhöht sich wenn sich die Quelle und Beobachter mit einer Geschwindigkeit annähern Es spielt keine Rolle, ob sich die Quelle oder der Beobachter

bewegt. Wichtig ist nur die relative Geschwindigkeit

Wellenlänge

Frequenz

(18)

Expansion des Universums

Luft S Luft

S

Luft S

v v '

v 1 v '

v v '

gkeit v Geschwindi

mit eg einander w von

sich bewegen Beobachter

und Quelle

λ λ λ λ

λ λ

λ λ λ

+

=

−

= Δ

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

+

= +

= _S

S

d d S

v f f v

f f f

f

S Q Medium

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ±

=

<

⇒

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

, , Luft

S

v ' v

Formel Allgemeine

' v

1 v '

m

Frequenz erniedrigt sich wenn sich die Quelle und

Beobachter mit einer Geschwindigkeit entfernen

Edwin Powell Hubble 1889-1953

(19)

19

Schockwellen

Ist die Geschwindigkeit der Quelle höher als die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Schallwelle im Medium kommt es zur Aus

bildung von Schockwellen.

Überschallgeschwindigkeit

s 900 m entspricht 3

Mach :

Beispiel

Medium im

t hwindigkei Schallgesc

Quelle der

gkeit Geschwindi

Machzahl

= M

M

Definition

(20)

20

Schockwellen

Ausgesandten Schallwellen der Quellen steilen sich auf entlang eines Kegels, der sich mit der Schallgeschwindigkeit des Mediums fortbewegt.

Dabei wird die Energie der Schallwelle konzentriert (Überschallknall)

Interferenzeffekt (später mehr davon)

Geschwindigkeit des Bootes höher als die Geschwindigkeit der Wasserwellen

Überschallschockwelle einer Geschosspatrone

Quelle Medium

v sin v

Machkegels des

Winkel

= Θ