PD Dr. J. Wolf
Humboldt-Universit¨at zu Berlin Institut f¨ur Mathematik
www2.mathematik.hu-berlin.de/∼ jwolf
E-Mail: jwolf@math.hu-berlin.de 29. April 2016
Nichtlineare Funktionalanalysis - SoSe 2016 Ubungsblatt 2 ¨
(Besprechung in der ¨Ubung am 6. Mai 2016)
Aufgabe 1
SeienX1, . . . , Xn, Y normierte Vektorr¨aume und M :X1×. . . Xn→Y eine multilineare Abbildung. Beweisen Sie die ¨Aquivalenz der folgenden Aussagen:
(a) M ist stetig.
(b) Es existiert eine KonstanteC ≥0, so dass
kM(x1, . . . , xn)k ≤ Ckx1k · · · kxnk ∀(x1, . . . , xn)∈X1 ×. . .×Xn.
Aufgabe 2
Sei Ω⊂Rn offen und beschr¨ankt. Sei 2≤p < +∞ und p0 = p−1p . Ferner seif ∈Lp0(Ω).
Man betrachte das Funktional F :X =Lp(Ω) →R gegeben durch F(v) =
Z
Ω
|v|pdx+ Z
Ω
f vdx, v ∈X.
(a) Zeigen Sie, dassF ∈C2(X) und berechnen Sie die Fr´echet-AbleitungenDF(u), D2F(u).
(b) Bestimmen Sie die Taylorentwicklung erster Ordnung von F in u∈X.
(c) Untersuchen SieF auf lokale und globale Extremwerte.
Aufgabe 3 (Satz von Schwarz)
Sei U ⊂Rn offen. Seif ∈C1(U) und seiDf inx0 ∈U total differenzierbar. Zeigen Sie, dass f¨ur allei, j = 1, . . . , ngilt
∂2f
∂xi∂xj(x0) = ∂2f
∂xj∂xi(x0).
