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Übungsblatt 7 zur Vorlesung “Wahrscheinlichkeitstheorie”
Olivier Warin 2. Mai 2014
Aufgabe 36 (alternative Definition Zufallsgrösse I)
Es sei(Ω,A, P)ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weiter seiX : Ω→Reine Funktion.
Behauptung: Die folgenden Aussagen sind äquivalent.
a) Für alle reellen Zahlenagilt{ω∈Ω|X(ω)6a} ∈ A. b) Für alle reellen Zahlenbgilt{ω∈Ω|X(ω)< b} ∈ A. c) Für alle reellen Zahlencgilt{ω∈Ω|X(ω)>c} ∈ A. d) Für alle reellen Zahlendgilt{ω∈Ω|X(ω)> d} ∈ A. Beweis:
“ a)⇒ b)” Es gilt für alle reellen Zahlenb
{ω∈Ω|X(ω)< b} = S∞
n=1{ω∈Ω|X(ω)6b−1/n} ∈ A.
“ b) ⇒c)” Es gilt für alle reellen Zahlenc
{ω∈Ω|X(ω)>c} = {ω∈Ω|X(ω)< c}c ∈ A.
“ c) ⇒d)” Es gilt für alle reellen Zahlend
{ω∈Ω|X(ω)> d} = S∞
n=1{ω∈Ω|X(ω)>d+ 1/n} ∈ A.
“ d) ⇒a)” Es gilt für alle reellen Zahlena
{ω∈Ω|X(ω)6a} = {ω∈Ω|X(ω)> a}c ∈ A.
Aufgabe 37 (alternative Definition Zufallsgrösse II)
Es sei(Ω,A, P)ein Wahrscheinlichkeitsraum undX : Ω→Reine Funktion.
Behauptung: Die folgenden Aussagen sind äquivalent.
a) Für alle reellen Zahlenagilt{ω∈Ω|X(ω)6a} ∈ A(WTS-Definition 2.1).
b) Für alle Borel-MengenB giltX−1(B)∈ A. (WT-Definition 2.4).
Beweis:
“ a)⇒ b)” Aufgrund von Lemma 2.2, der Definition von B(R)und Definition 1.1, reicht es zu zeigen, dass für alle reellen Zahlena, bmit a < bgiltX−1((a, b])∈ A.
Mit Lemma 2.2 können wir schliessen:
X−1((a, b])c=X−1((a, b]c) = X−1((−∞, a]∪(b,∞)) = X−1((−∞, a])∪X−1((b,∞))
={ω∈Ω|X(ω)6a} ∪ {ω∈Ω|X(ω)> b}.
Nach Aufgabe 36 liegen diese beiden Mengen in A. Es folgt sofort X−1((a, b])c ∈ A und damit X−1((a, b])∈ A.
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“ b) ⇒a)” Seia∈R. Nun gilt
{ω∈Ω|X(ω)6a}=X−1((−∞, a]) ∈ A, da(−∞, a]∈ B(R).
Aufgabe 38 (σ(X))
Es seiΩeine nicht-leere Menge undX : Ω→Reine Funktion.
Behauptung: Die σ-Algebraσ(X) ={X−1(B)|B ∈ B(R)} aus Lemma 2.9 ist die kleinsteσ-Algebra vonΩ, bezüglich derX messbar ist.
Beweis: Es seiAeineσ-Algebra, derart dassX bezüglichAmessbar ist. Wir zeigen jetztA ⊃σ(X). Da X bezüglichAmessbar ist, ist dies klar denn dies bedeutet ja genau, dass für jede Borel-Menge B giltX−1(B)∈ A. Also ist per Definition jedes Element vonσ(X)auch inAenthalten.
Dies bedeutet genau, dassσ(X)die kleinsteσ-Algebra ist, bezüglich welcherX messbar ist.
Aufgabe 39 (Algebraische Operationen von Zufallsgrössen I)
Es sei(Ω,A, P)ein Wahrscheinlichkeitsraum undAsei ein Ereignis. Weiter seienX undY zwei Zufalls- grössen auf(Ω,A, P).
Behauptung: Die FunktionZ: Ω→R, definiert durch Z(ω) =
(X(ω), fallsω∈A Y(ω), fallsω∈Ac, ist eine Zufallsgrösse.
Beweis: SeiB eine Borel-Menge. Nun gilt
Z−1(B) = (A∩Z−1(B))∪(Ac∩Z−1(B)) = (A∩X−1(B))∪(Ac∩Y−1(B))∈ A.
Beachte dazu, dass gilt
A∩Z−1(B) ={ω∈A| Z(ω)∈B} = {ω∈A|X(ω)∈B} = A∩X−1(B) Ac∩Z−1(B) ={ω∈Ac| Z(ω)∈B} = {ω∈Ac|Y(ω)∈B} = Ac∩Y−1(B).
Also istZ eine Zufallsgrösse.
Aufgabe 40 (Algebraische Operationen von Zufallsgrössen II)
Es sei(Ω,A, P)ein Wahrscheinlichkeitsraum undX,Y zwei Zufallsgrössen darauf.
Behauptung: Die Mengen{X 6Y},{X < Y} und{X =Y}sind Ereignisse.
Beweis: Nach Lemma 2.10 a) istZ=X−Y eine Zufallsgrösse. Damit folgt {X 6Y}={Z60} = Z−1((−∞,0]) ∈ A {X < Y}={Z <0} = Z−1((−∞,0)) ∈ A {X =Y}={Z= 0} = Z−1({0}) ∈ A.
Aufgabe 41 (Random Walk und Filtration)
Es sei (Ω,A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weiter sei T = {0,1,2,3} und (Xi)3i=1 seien iid Be(p)- Zufallsgrössen mitP[Xi= 1] =P[Xi =−1] = 0.5. Konkret nehmen wir hier
Ω = {•••,••◦,•◦•,•◦◦,◦••,◦•◦,◦◦•,◦◦◦},
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A=P(Ω),P[{ω}] = 1/|Ω| = 1/8für alleω∈Ωund füri= 1,2,3: Xi(x1x2x3) =
(1, fallsxi=•,
−1, fallsxi=◦. Weiter definieren wir fürn= 0,1,2,3: Sn=Pn
i=1Xi. Nun setzen wir
A0=σ(S0) = {∅,Ω}
A1=σ(A0∪σ(S1)) = {∅,{•••,••◦,•◦•,•◦◦},{◦••,◦•◦,◦◦•,◦◦◦},Ω}
A2=σ(A1∪σ(S2)) = {∅,{•••,••◦},{•◦•,•◦◦},{◦••,◦•◦},{◦◦•,◦◦◦},{•••,••◦,•◦•,•◦◦},
{•••,••◦,◦••,◦•◦},{•••,••◦,◦◦•,◦◦◦},{•◦•,•◦◦,◦••,◦•◦},{•◦•,•◦◦,◦◦•,◦◦◦}, {◦••,◦•◦,◦◦•,◦◦◦},{•••,••◦,•◦•,•◦◦,◦••,◦•◦},{•••,••◦,•◦•,•◦◦,◦◦•,◦◦◦}, {•••,••◦,◦••,◦•◦,◦◦•,◦◦◦},{•◦•,•◦◦,◦••,◦•◦,◦◦•,◦◦◦},Ω}
A3=P(Ω).
Für n = 0,1,2,3 ist damit nach Konstruktion Sn An − B(R)-messbar. Ausserdem gilt offensichtlich A0 ( A1 ( A2 ( A3, wie in der Aufgabenstellung gewünscht. Beachte dazu |A0| = 2, |A1| = 4,
|A2|= 16,|A3|= 256.
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