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Übungsblatt 11 zur Vorlesung “Wahrscheinlichkeitstheorie”
Olivier Warin 26. Mai 2014
Aufgabe 58 (|X|= 0f.s.⇒ E[|X|] = 0) Es seiX eine Zufallsgrösse mitP[|X|= 0] = 1.
Behauptung: Es giltE[|X|] = 0.
Beweis: Es sei(Xn)n∈N eine monoton wachsende Folge von nicht-negativen einfachen Zufallsgrössen mit Xn(ω)↑ |X(ω)|für alleω.
Sei nunn∈N, fest. DaXn eine einfache Zufallsgrösse ist, gibt es eine Darstellung der Form
Xn =
N
X
i=1
ai1Ai,
wobei(Ai)Ni=1 eine Partition vonΩunda1, . . . , aN reelle Zahlen sind. Nun gilt
E[Xn] =
N
X
i=1
aiP[Ai] =
N
X
i=1 ai>0
aiP[Ai].
Aufgrund der Monotonie der Folge folgt, dass für alle ω mit Xn(ω)> 0 auch |X(ω)| >0 gelten muss.
Mit anderen Worten giltAi⊂ {|X|>0}für allei= 1, . . . , N mitai>0. Wir schliessen
E[Xn]6
N
X
i=1
aiP[|X|>0] = 0.
AlsoE[Xn] = 0und damit natürlichE[|X|] = limn→∞E[Xn] = 0.
Aufgabe 59 (Lp, Lq wo0< p < q <1) Seien0< p < q <1.
Behauptung: Es giltLq ⊂Lp und im AllgemeinenLp6⊂Lq.
Beweis: Es seiX ∈Lq. Setzes= 1/p undr= 1/q. Nun gilt1< r < sundE[(|X|pq)s] =E[|X|q]<∞, alsoXpq∈Ls. Mit Hilfe der Lyapunov-Ungleichung (Korollar 4.27) folgt damit
E[|X|p]1/r=E[(|X|pq)r]1/r 6 E[(|X|pq)s]1/s = E[|X|q]1/s < ∞, alsoX ∈Lp. Damit wäre der erste Teil der Behauptung bewiesen.
Für den zweiten Teil geben wir noch ein konkretes Gegenbeispiel an. Sei P eine absolut-stetige Wahr- scheinlichkeit auf(R,B(R))mit Dichte (vgl Definition 1.20)
fP(x) =
(Kx−ξ−1, x >1
0, sonst,
wobei K ∈R eine Normierungskonstante und ξ∈ Rmit p < ξ < q. SeiX =id: R→R eine absolut stetige Zufallsgrösse mit DichtefunktionfP (wegen der speziellen Wahl vonX haben wir fP =fX).
Nach Aufgabe 63 gilt nun
E[|X|p] = Z ∞
1
Kxp−ξ−1dx <∞ E[|X|q] =
Z ∞ 1
Kxq−ξ−1dx = ∞.
AlsoX∈Lp undX 6∈Lq.
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Aufgabe 60 (Vervollständigung des Beweis Satz 4.21) SeiX ∈L1.
Behauptung: Dann giltE[X] =R∞
−∞xdFX(x).
Beweis: Da wir in Satz 4.22 die Formel direkt bewiesen haben (ohne Satz 4.21), folgt dies direkt aus Satz 4.22 (wähleg(x) =x- oder gehe den Beweis nochmals durch). Es ist nichts mehr zu beweisen.
Aufgabe 61 (Tschebyschew und Konsorten)
Es seiX eine nicht-negative Zufallsgrösse undg eine positive, wachsende Funktion aufR+. Behauptung: Für allea >0gilt
P[X >a] 6 E[g(X)]
g(a) .
Beweis: Seia >0. Nun gilt
E[g(X)] > E[g(X)1{g(X)>g(a)}] > E[g(a)1{g(X)>g(a)}] = g(a)P[g(X)>g(a)] > g(a)P[X >a], wobei wir bei der letzten Ungleichung noch die Monotonie vongverwendet haben.
Die Behauptung folgt nun unmittelbar daraus.
Aufgabe 62 (Konvergenz in Verteilung/Wahrscheinlichkeit, Ergänzung Satz 5.4)
Es sei (Ω,A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und seien weiter (Xn)n∈N eine Folge von Zufallsgrössen darauf undaeine reelle Zahl, derart dass für allet∈Rgilt
n→∞lim P[Xn6t] =P[a6t] =
(1, fallst>a 0, fallst < a.
D.h. die Folge(Xn)n∈N konvergiert in Verteilung gegena.
Behauptung: Die Folge(Xn)n∈N konvergiert in Wahrscheinlichkeit gegena.
Beweis: Seiε >0. Nun gilt
P[|Xn−a|> ε] =P[Xn−a > ε] +P[Xn−a <−ε] 6 P[Xn> a+ε] +P[Xn 6a−ε]
= 1−P[Xn 6a+ε] +P[Xn6a−ε].
und damit
n→∞lim P[|Xn−a|> ε]61− lim
n→∞P[Xn6a+ε] + lim
n→∞P[Xn 6a−ε]
= 1−P[a6a+ε] +P[a6a−ε] = 1−1 + 0 = 0.
Also konvergiert die Folge(Xn)n∈N auch in Wahrscheinlichkeit gegen a.
Aufgabe 63 (Vervollständigung Beweis Satz 4.17)
Sei F eine absolut-stetige Verteilungsfunktion mit (stückweise) stetiger Dichtefunktion f. Sei g nicht- negativ und (stückweise) stetig.
Behauptung: Es gilt
Z
gdF = Z ∞
−∞
g(x)f(x)dx.
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Beweis: Nehmen wir zunächst an, dass g eine Treppenfunktion ist. Wir können also g in der Form g=Pm
j=1bj1Ij, wobei(Ij)mj=1 eine Partition bestehend aus Intervallen vonRbildet undb1, . . . , bmreelle Zahlen sind. Nun gilt nach Definition 4.14:
Z
gdF =EF[g] =
m
X
j=1
bjPF[Ij] =
m
X
j=1
bj Z
Ij
f(x)dx =
m
X
j=1
bj Z ∞
−∞
f(x)1Ij(x)dx
= Z ∞
−∞
m
X
j=1
bj1Ij(x)
f(x)dx = Z ∞
−∞
g(x)f(x)dx.
Damit wäre die Behauptung für Treppenfunktionen bewiesen.
Im Allgemeinen gibt es (nach Lemma 2.13) eine monoton wachsende Folge(gn)n∈Nvon nicht-negativen Treppenfunktionen, so dass für allex∈Rgiltgn(x)↑g(x). Nun folgt mit dem Satz von der monotonen Konvergenz von Beppo Levi (Satz 4.7)
Z ∞
−∞
g(x)f(x)dx= lim
n→∞
Z ∞
−∞
gn(x)f(x)dx = lim
n→∞EF[gn] = EF[g] = Z
gdF.
Beachten Sie, dass wir dabei den Satz über die monotone Konvergenz zwei mal angewendet haben. Das erste mal haben wir den entsprechenden Satz aus der Analysis und das zweite mal den erwähnten Satz 4.7 verwendet.
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