Ubungsblatt 3 zur Vorlesung ¨
”Statistische Methoden”
Grundlagen der Statistik: Suffizienz
Herausgabe des ¨Ubungsblattes: Woche 10, Abgabe der L¨osungen: Woche 12 (bis Freitag, 1615 Uhr), Be- sprechung: Woche 13
Standard
Aufgabe 12 [Faktorisierungskriterium & minimal suffiziente Statistik][4 Punkte]
Sei (y1, . . . , yn) eine Stichprobe aus einer Poissonverteilung mit Parameterλ >0.
a) Berechnen Sie mit Hilfe des Faktorisierungskriteriums (Lemma 3.3) eine suffiziente Statistik f¨urλ.
b) Berechnen Sie die minimal suffiziente Statistik in diesem Fall und vergleichen Sie mit a).
Aufgabe 13 [minimal suffiziente Statistik][3 Punkte]
Sei (x1, . . . , xn) eine Stichprobe aus einer Exp(λ)-Verteilung, λ >0. Berechnen Sie die minimal suffiziente Statistik f¨urλ.
Aufgabe 14 [minimal suffiziente Statistik][4 Punkte]
Sei (x1, . . . , xn) eine Stichprobe aus einer Γ(m, λ)-Verteilung, λ > 0, m ∈ N. Berechnen Sie die minimal suffiziente Statistik f¨ur (m, λ), die Sie hier beide als unbekannt ansehen - hingegen kennen Sie nat¨urlichn.
Vergleichen Sie das Resultat mit dem Resultat in Aufgabe 13; beachten Sie, dass Aufgabe 13 ein Spezialfall von Aufgabe 16 ist mit m= 1. Dies sollte sich wohl auch im Resultat widerspiegeln! Bemerkung: von der Theorie her ist es nachvollziehbar, dass jemand sagt, bei einer Stichprobe aus Bin(m,p) ist ja schliesslich m auch als bekannt anzunehmen. Es gibt jedoch bei der Gamma-Verteilung Fragestellungen, in denen m wirklich als unbekannter Parameter anzusehen ist.
Dr. Christof Luchsinger
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Übungsblatt 3 zur Vorlesung “Statistische Methoden”
Olivier Warin 18. März 2011
Aufgabe 12 [Faktorisierungskriterium & minimal suffiziente Statistik]
Seiy= (y1, . . . , yn)eine Stichprobe aus einer Poissonverteilung mit Parameterλ >0.
a) Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion (in analoger Notation wie in der Vorlesung) lautet hier:
p(y;λ)=q
n
Y
i=1
e−λλyi
yi! = e−nλλny
| {z }
=:g(y,λ) n
Y
i=1
1 yi!
| {z }
=:h(y1,...,yn)
.
Also ist nach Lemma 3.3 T(y) :=y eine suffiziente Statistik fürλ.
b) Seienx= (x1,· · ·, xn),y= (y1,· · · , yn)∈K\D0, wobeiKden Stichprobenraum bezeichnet und D0={x|p(x;λ) = 0∀λ∈R>0} (wie in der Vorlesung).
Betrachten wir nun den Likelihood-Quotienten:
p(y;λ) p(x;λ)
=a)
e−nλλnx
n
Q
i=1 1 xi!
e−nλλny
n
Q
i=1 1 yi!
= λn(x−y)
n
Y
i=1
yi! xi!.
Dieser Ausdruck ist genau dann unabhänig vonλ, wennx=y. Also ist nach Satz 3.5 T(x) =x
eine minimal suffiziente Statistik für λ.
Aufgabe 13
Sei x= (x1,· · · , xn)eine Stichprobe aus einer Exp(λ)-Verteilung, λ >0. Nun wollen wir eine minimal suffiziente Statistik fürλbestimmen. Analog wie in Aufgabe 12 b) betrachten wir dazu den entsprechenden Likelihood-Quotienten (y= (y1,· · · , yn),x,y∈K\D0):
f(y;λ) f(x;λ)
=q
Qn
i=1λe−λyi Qn
i=1λe−λxi = e−λPni=1yi+λPni=1xi = eλn(x−y).
Dieser Ausdruck ist klar genau dann unabhängig vonλwennx=y. Somit ist nach Satz 3.5 T(x) = x
eine minimal suffiziente Statistik fürλ.
Aufgabe 14
Sei x = (x1,· · · , xn) eine Stichprobe aus einer Γ(m, λ)-Verteilung, λ > 0, m ∈ N. Nun suchen wir eine minimal suffiziente Statistik für(m, λ). Wieder betrachten wir dazu den entsprechenden Likelihood- Quotienten (y= (y1, .., yn), x,y∈K\D0):
f(y;m, λ) f(x;m, λ)
=q
Qn i=1
yim−1e−λyiλm Γ(m)
Qn i=1
xm−1i e−λxiλm Γ(m)
= Qn i=1yi
Qn i=1xi
m−1
eλn(x−y). Dieser Ausdruck ist (fürm >1) genau dann unabhängig von(m, λ)wennx=yundQn
i=1xi=Qn i=1yi. Somit ist nach Satz 3.5
T(x) = x,
n
Y
i=1
xi
!
eine minimal suffiziente Statistik für(m, λ).
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