Ubungsblatt 2 zur Vorlesung ¨
”Statistische Methoden”
R/S-PLUS, CLT und Grundlagen der Statistik
Herausgabe des ¨Ubungsblattes: Woche 09, Abgabe der L¨osungen: Woche 10 (bis Freitag, 1615 Uhr), Be- sprechung: Woche 12
Must Aufgabe 7 [individuelle Einf¨uhrung Statistik-Paket]
Kapitel 1 und 2 im Dalgaard durcharbeiten Aufgabe 8 [einfache Berechnungen I]
Berechnen Sie in R/S-PLUS folgende Wahrscheinlichkeiten (ohne in Tabellen aus B¨uchern nachzuschlagen):
a)P[N(0,1)>3] (das ist kurz f¨urX sei standardnormalverteilt;P[X >3]) b)P[N(35,36)>42]
c) Wahrscheinlichkeit f¨ur 10 Erfolge bei 10 unabh¨angigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit 0.8.
d)P[χ22>6.5]
Aufgabe 9 [einfache Berechnungen II]
Bei einer Normalverteilung gilt approximativ die Regel, dass 5 % der Realisationen ausserhalb von 2 Stan- dardabweichungen um den Mittelwert liegen.
a) Wie ist die genaue Schranke; d.h. findea: P[|N(0, σ2)|> aσ] = 0.05.
b) findeb: P[|N(0, σ2)|> bσ] = 0.01.
c) finded: P[|N(0, σ2)|> dσ] = 0.001.
d) findeu: P[|N(0, σ2)|> uσ] = 0.1.
Standard Aufgabe 10 [CLT][3+3 Punkte]
Unser WTS-Theorem 5.4 [Zentraler Grenzwertsatz] setzt voraus, dass die Zufallsgr¨ossen ”iid” sind (un- abh¨angig, identisch verteilt). Diese strenge Forderung kann in Verallgemeinerungen dieses Satzes gelockert werden. Wir wollen zeigen, dass nachfolgende Verallgemeinerung zu weit geht - also falsch ist. Konstruieren Sie dazu ein - einfach aufgebautes - Gegenbeispiel, dass zeigt, dass der folgende Satz so nicht richtig sein kann:
Dr. Christof Luchsinger
Sei Xk, k ≥1, eine Folge von unabh¨angigen Zufallsgr¨ossen mit gleichem Erwartungswertµ und Varianzen 0< V[Xk] =:σk2<∞f¨ur allek≥1. Dann gilt f¨ura∈Rbeliebig:
P Pn
k=1Xk−nµ pPn
k=1σ2k ≤a
−→P[N(0,1)≤a]
wennn→ ∞.
a) 3 Punkte f¨ur Konstruktion des Gegenbeispiels
b) 3 Punkte f¨ur mathematisch exakten Beweis (zum Beispiel an Hand des Gegenbeispiel’s aus a)), dass obiger Satz falsch ist.
Aufgabe 11 [Aktionsraum, Entscheidungsfunktion, Verlustfunktion & Risiko] [1+1+3 Punkte]
Sei (X)ni=1eine Folge von iid Be(p)-verteilten Zufallsgr¨ossen,p∈[0,1]. Sie m¨ochtenpsch¨atzen. Dazu haben Sie eine Realisation (x1, . . . , xn).
a) Geben Sie den Aktionsraum Af¨ur dieses Problem an.
b) Geben Sie eine sinnvolle Entscheidungsfunktion an.
c) Berechnen Sie bei quadratischer Verlustfunktion das Risiko obiger Entscheidungsfunktion.
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Übungsblatt 2 zur Vorlesung “Statistische Methoden”
Olivier Warin 20. Februar 2011
Aufgabe 8 [einfache Berechungen I]
a) Es gilt:
P[N(0,1)>3]=.
R
pnorm(3,lower.tail=FALSE) =.
R 0.001349898.
b) Analog berechnen wir P[N(35,36)>42]=.
R
pnorm(42,35,sqrt(36),lower.tail=FALSE) =.
R
0.1216725.
c) Die Anzahl Erfolge bei 10 unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit 0.8 istBin(10,0.8) verteilt. Also können wir die Wahrscheinlichkeit für 10 Erfolge wie folgt berechnen:
P[Bin(10,0.8)>10] =P[Bin(10,0.8)>9] =.
R
pbinom(9,10,0.8,lower.tail=FALSE) =.
R
0.1073742.
Mit der Rechnung
0.810=.
R
0.8**10 =.
R 0.1073742 erhält man natürlich dasselbe Resultat.
d) Auch dieχ22-Verteilung ist in R tabelliert. Zum Beispiel können wir berechnen:
P[χ22>6.5]=.
R
pchisq(6.5,2,lower.tail=FALSE) =.
R
0.03877421.
Aufgabe 9 [einfache Berechnungen II]
Es sei σeine positive reelle Zahl. In den folgenden Teilaufgaben müssen wir jeweils eine positive, reelle Zahlxbestimmen, so dass
P[|N(0, σ2)|> xσ] =α, für ein gewissesα∈Rgilt. Dies bereiten wir hier zuerst allgemein vor:
α=P[|N(0, σ2)|> xσ] = P[N(0, σ2)> xσ] +P[N(0, σ2)<−xσ] Sym-=
metrie
2P[N(0, σ2)> xσ]
= 2P
N(0, σ)−0
σ > xσ−0 σ
Z-Trans-
=
formation
2P[N(0,1)> x].
Wir schliessen alsoP[N(0,1)> x] =α/2.
a) Sei jetzta∈Rmit0.05 =P[|N(0, σ2)|> aσ]. Mit obiger Vorbereitung können wir direkt schliessen:
a=.
R
qnorm(0.05/2,lower.tail=FALSE) =.
R 1.959964.
b) Nun suchen wir einb∈Rmit 0.01 =P[|N(0, σ2)|> bσ]. Analog wie oben finden wir:
b=.
R
qnorm(0.01/2,lower.tail=FALSE) =.
R 2.575829.
c) Hier geht es um eind∈Rmit 0.001 =P[|N(0, σ2)|> dσ]. Wie zuvor folgt d=.
R
qnorm(0.001/2,lower.tail=FALSE) =.
R 3.290527.
d) Zum Schluss suchen wir noch einu∈Rmit0.1 =P[|N(0, σ2)|> uσ]. Wiederum schliessen wir wie in den vorigen Teilaufgaben :
u=.
R
qnorm(0.1/2,lower.tail=FALSE) =.
R 1.644854.
Aufgabe 10 [CLT]
SeiXk,k>1eine Folge von unabhängigen Zufallsgrössen mit gleichem Erwartungswertµund Varianzen 0< V[Xk] =:σk2<∞für allek>1.
Behauptung: Im Allgemeinen gilt nunnicht, dass für jedesa∈Rgilt:
P
" Pn
k=1Xk−nµ pPn
k=1σ2k 6a
#
n→ ∞
−→ P[N(0,1)6a].
Beweis: Wir beweisen die Behauptung natürlich mit einem Gegenbeispiel: Dazu seiXk,k>1eine Folge von unabhängigen Zufallsgrössen mit folgender Verteilung:
P[Xk=1/k2] = P[Xk=−1/k2] = 0.5 (k>1).
Es folgt sofort (fürk>1):
E[Xk] = 0.5·1/k2+ 0.5·(−1/k2) = 0 =: µ
V[Xk] = 0.5·(1/k2)2+ 0.5·(−1/k2)2 = 1/k4 =: σ2k. Die geforderten Bedingungen sind also erfüllt.
Für eine natürliche Zahlngilt aber
P
" Pn
k=1Xk−nµ pPn
k=1σ2k 62
#
=P
Xn k=1
Xk 62 vu ut
Xn k=1
1 k4
> P
" n X
k=1
Xk62
#
= 1,
Denn es gilt klar für fast alleω∈Ω:
Xn k=1
Xk(ω) 6 Xn k=1
1 k2 6 2.
Wäre die Aussage nun korrekt, so müsste gelten
16=P[N(0,1)62] = lim
n→∞P
" Pn
k=1Xk−nµ pPn
k=1σk2 62
#
= lim
n→∞1 = 1, was natürlich falsch ist. Damit haben wir den gesuchten Widerspruch gefunden.
Aufgabe 11 [Aktionsraum, Entscheidungsfunktion, Verlustfunktion & Risiko]
Sei (Xi)ni=1 eine Folge von iid Be(p)-verteilten Zufallsgrössen, wobei p ∈ [0,1]. Wir möchten nun p schätzen. Dazu haben wir eine Realisation(x1,· · · , xn)∈ {0,1}n.
a) Der AktionsraumAlautet hier wie folgt:
A= [0,1].
b) Wir haben in der WTS-Vorlesung bereits gesehen, dass x ein erwartungstreuer und konsitenter Schätzer fürE[X1] =pist. Somit ist
d: {0,1}n → A= [0,1]
(x1,· · ·, xn) 7→ d(x1,· · ·, xn) = x eine sinnvolle Entscheidungsfunktion.
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c) Für diese Entscheidungsfuktion berechnen wir nun noch das Risiko bei quadratischer Verlustfunk- tion L. In den Notationen der Vorlesung (wobei wir dem Zusammenhang entsprechend µ mit p ersetzen) gilt hier also
R(p, d)3.3.3= Ep[L(p, d(X1,· · ·, Xn)] 3.3.3= Ep[(p−X)2] = Vp[ ¯X] = 1 n2Vp
" n X
i=1
Xi
#
iid= 1
n2 ·nVp[X1] = p(1−p)
n .
