Übungsblatt 9 zur Vorlesung “Wahrscheinlichkeitstheorie”

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Übungsblatt 9 zur Vorlesung “Wahrscheinlichkeitstheorie”

Olivier Warin 2. Mai 2014

Aufgabe 47 (P[A] = 0,1und Unabhängigkeit) Es seienA,B zwei Ereignisse.

Behauptung: FallsP[A]∈ {0,1}, dann istAundB unabhängig.

Beweis: FallsP[A] = 1folgt mit Aufgabe 20

P[A∩B] =P[B] = P[A]P[B].

Falls P[A] = 0folgt

P[A∩B] = 0 = P[A]P[B],

daA∩B⊂A.

Es gilt also auf jeden FallP[A∩B] =P[A]P[B], also sind nach Satz 3.7 A undB unabhängig. Des weiteren folgt ausP[A]P[A] =P[A∩A] =P[A]sofort, dassP[A]∈ {0,1}.

Aufgabe 48 (Abbildung unabhängiger Zufallsgrössen) Es seienX,Y zwei unabhängige Zufallsgrössen undg1,g2 borelsch.

Behauptung: Die Zufallsgrösseng₁◦X undg₂◦Y sind ebenfalls unabhängig voneinander.

Beweis: SeienB1,B2zwei Borel-Mengen. Dag₁⁻¹(B1)undg⁻¹₂ (B2)ebenfalls Borel-Mengen sind und da XqY folgt

P[g₁◦X ∈B₁, g₂◦Y ∈B₂] =P[X∈g⁻¹₁ (B₁), Y ∈g⁻¹₂ (B₂)] = P[X ∈g₁⁻¹(B₁)]P[Y ∈g⁻¹₂ (B₂)]

=P[g1◦X∈B1]P[g2◦Y ∈B2].

Also sindg1◦X undg2◦Y nach Definition 3.1 unabhängig.

Analog folgt die Behauptung für mehr als 2 Zufallsgrössen.

Aufgabe 49 (Unabhängigkeit von Ai und A^c_i) Es seienA1, . . . , An Ereignisse.

Behauptung: Die EreignisseA1, . . . , An sind unabhängig genau wennA^c₁, . . . A^c_n unabhängig sind.

Beweis: Da(A^c_i)^c=A_ireicht es eine Richtung zu zeigen. Nehmen wir also an, dassA₁, . . . , A_nunabhängig sind.

Definiereg:R→Rdurchg(t) = 1−t. Nun gilt füri= 1, . . . , n 1_A^c

i = 1−1_Ai = g◦1_Ai.

Dag klar (z.b. nach Aufgabe 42) borelsch ist, folgt mit Aufgabe 48, dass1_A^c

1, . . . ,1_Ac

n unabhängig sind.

Wir schliessen:A^c₁, . . . , A^c_n sind unabhängig.

Aufgabe 50 (P[S

iA_i]und Unabhängigkeit) SeienA1, . . . , An unabhängige Ereignisse.

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Behauptung: Es gilt

P[Sn

i=1A_i] = 1−

n

Y

i=1

(1−P[A_i]).

Beweis: DaA₁, . . . , A_nunabhängig sind, sind nach Aufgabe 49 auchA^c₁, . . . , A^c_nunabhängig. Also können wir mit Satz 3.7 schliessen

P[Sn

i=1A_i] = 1−P[Tn

i=1A^c_i] = 1−

n

Y

i=1

P[A^c_i] = 1−

n

Y

i=1

(1−P[A_i]).

Aufgabe 51 (Borel-Cantelli I und II) Es sei(Ω,A, P)ein Wahrscheinlichkeitsraum.

• DefiniereAn =∅für alle natürliche Zahlenn. Nun gilt klar

∞

X

n=1

P[An] =

∞

X

n=1

0 = 0 < ∞

und es gilt auch, wie von Satz 1.11 (Borel-Cantelli I) vorausgesagt,

P[lim sup

n

A_n] =P[∅] = 0.

• Definiere A_n = Ωfür alle natürlichen Zahlenn. Da für alle ngiltP[A_n] = 1sindA₁, A₂, . . .nach Aufgabe 47 unabhängig. Weiter gilt

∞

X

n=1

P[A_n] =

∞

X

n=1

1 = ∞

und es gilt auch, wie von Satz 3.8 (Borel-Cantelli II) vorausgesagt,

P[lim sup

n

An] =P[Ω] = 1.

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