Übungsaufgaben zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie
WS 2015/16 - Blatt 4
Abgabe: Donnerstag, 19.11.2015 vor Beginn der Vorlesung
Bitte vermerken Sie auf jedem Lösungsblatt Ihren Namen.
Aufgabe 13 (4 Punkte)
Sei (Ω,A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X eine exponentialverteilte Zu- fallsvariable, d.h.PX hat bzgl. des Lebesguemaßes die DichtefX(x) = ce−cx1[0,∞)(x) mit c >0.
Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von Y = max{X,1} und die Lebesgue- zerlegung ν1+ν2 von ν =PY bzgl. des Lebesguemaßes auf (R,B).
Aufgabe 14 (4 Punkte)
Es seien X, Y wie in Aufgabe 13. Berechnen Sie für a > 0 und Za = e−aX die Werte E[Y], V[Y],E[Za], V[Za] und COV[Y, Za].
Aufgabe 15 (4 Punkte)
Sei (Ω,A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A0 := {A ∈ A |P(A)∈ {0,1}}.
Zeigen Sie
a) A0 ⊂ A ist eine Unter-σ-Algebra,
b) A und A0 sind stochastisch unabhängig.
c) A0 ist von sich selbst unabhängig.
Aufgabe 16 (4 Punkte)
Seien N, (Xn)n∈N stochastisch unabhängige Zufallsvariablen auf einem Wahr- scheinlichkeitsraum (Ω,A, P) mit N(Ω)⊂ N und PXn =fnλ für n ∈ N. Zeigen Sie
1. SN :=PN
n=1Xn ist messbar, 2. die Funktion
g(x) :=
∞
X
n=1
P(N =n)(f1∗. . .∗fn)(x) ist eine Lebesguedichte vonPSN.
Die Übungsaufgaben sowie weitere Informationen zur Vorlesung finden Sie auf der Internetseite:
http://www.stochastik.uni-freiburg.de/lehre/2015WiSe/inhalte/2015WiSeWTheorie
