L¨osungenm¨ussenhandschriftlicherstelltwerden. 6 12 5 11 4 10 16 3 9 15 2 8 14 1 7 13 Name: T P CB 5 ¨U

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Prof. Dr. J. K ¨uhn (Theoretische Teilchenphysik) Abgabe: Montag, 23.11.2009, 9:30 Uhr Dr. S. Uccirati (Theoretische Teilchenphysik) Besprechung: Dienstag, 24.11.2009

Name:

Gruppe

1

Bierweiler Anastasia

Gruppe

7

Husnik Martin

Gruppe

13

Rogal Mikhail Gruppe

2

Davidkov Momchil

Gruppe

8

Kleine Jonas

Gruppe

14

Rzehak Heidi Gruppe

3

Gansel Justyna

Gruppe

9

Marquard Peter

Gruppe

15

Schnitter Karsten Gruppe

4

Gerhard Lukas

Gruppe

10

Prausa Mario Gruppe

16

Wayand Stefan Gruppe

5

v.Hodenberg Janine

Gruppe

11

Redlof Martin Gruppe

6

Hofer Lars

Gruppe

12

Rittinger J ¨org

Aus aktuellem Anlass nochmals der Hinweis:

L ¨osungen m ¨ussen handschriftlich erstellt werden.

Aufgabe 1: Potential einer Ebene auf verschiedenen Potentialen 4 Punkte Betrachten Sie die unendlich ausgedehnte, leitende Ebene z = 0 (xy-Ebene). Auf der Halbebenex>0 liege das konstante PotentialV, auf der Halbebenex<0 das konstante Potential−Van. Benutzen Sie die Dirichletsche Greensche Funktion

GD(~r,~r^′)= ¹

p(x−x^′)²+_(y−y^′₎²+_(z−z^′₎^{2 −}

1

p(x−x^′)²+_(y−y^′₎²+_(z+_z^′₎²

um das Potential im ladungsfreien Halbraumz>0 zu berechnen. ¨Uberpr ¨ufen Sie, daß im Grenzfall z → 0 f ¨ur x > 0 bzw. x < 0 die richtigen Werte f ¨ur das Potential heraus- kommen.

Aufgabe 2: Spiegelladung eines elektrischen Dipols 4 Punkte Ein punktf ¨ormiger Dipol_d~=_q~δbefinde sich in beliebiger Orientierung vor einer geer- deten Metallkugel mit Radiusa. Bestimmen Sie das elektrostatische Potential im ganzen Raum außerhalb der Kugel aus dem Resultat f ¨ur zwei getrennte Punktladungen. Neh- men Sie dazu an, dass sich eine Punktladung−qam Ort~r^′und eine zweite Punktladung (bitte wenden)

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5

Prof. Dr. J. K ¨uhn (Theoretische Teilchenphysik) Abgabe: Montag, 23.11.2009, 9:30 Uhr Dr. S. Uccirati (Theoretische Teilchenphysik) Besprechung: Dienstag, 24.11.2009

+_{qam Ort}~r^′+~δbefinde. F ¨uhren Sie den Grenz ¨ubergang|~δ_{| →}0 aus, indem Sie das Po- tential bis zur f ¨uhrenden nicht-verschwindenden Ordnung in|~δ_|entwickeln. Entspricht die Spiegelladungs-Verteilung ebenfalls einem Punktdipol?

Hinweis: Verwenden Sie hierzu das in der Vorlesung hergeleitete Potential, das von einer geerdeten Metallkugel mit Radiusaund einer Punktladung Qerzeugt wird:

φ(~x)= ^Q 4πǫ₀

1

|~x−~x^′| − a x^′|~_x− _x^a′2²~_x^′|

,

wobei~x^′ die Position vonQist.

Aufgabe 3: Elektrostatisches Potential im Inneren eines W ¨urfels 4 Punkte Gegeben sei ein W ¨urfel mit der Kantenl¨angea. Die Seitenfl¨achen befinden sich auf Po- tential Null bis auf die Deckfl¨ache bei z = _a mit Potential v(x,y) und die Seitenfl¨ache beix =_amit Potential u(y,z). Wie in der Vorlesung besprochen, kann man dieses Pro- blem mittels Separation der Variablen und Fourier-Entwicklung l ¨osen. Bestimmen Sie das Potential im Inneren des Kastens f ¨ur die Randbedingung

v(x,y)=_v0sin 2π

a x

sinπ ay

, u(y,z)=_{u0y(a−y)z(a−z)}.

Hinweis: Die L ¨osung des Problems l¨asst sich als Superposition der L ¨osungen f ¨urv(x,_y)= 0,u(y,z)6=_{0 undv(x},y)6=₀,u(y,z)=0 schreiben.